Warum gibt es nur endliche Körper der Form GF(p^n) für p = prim und n ∈N?

Question

Ich hab vor kurzem mal angefangen mich mit endlichen Körpern zu beschäftigen. Und es gibt eine Sache die ich da nicht ganz verstehe. Nämlich warum gibt es nur endliche Körper der Form GF(pⁿ) für p = prim und n ∈N. Ich finde einfach keinen Beweis oder Erklärung warum das so ist..

Für GF(4) ist es mir denk ich schon klar. Aber warum geht's z.B. nicht für GF(6)..

Ich bin für jede Erklärung dankbar.

Grüße

Answer 1

Grobskizze eines Beweises: Die Charakteristik eines jeden endlichen Körpers ist ein Primzahl p. Jeder endliche Körper der Charakteristik p ist ein Vektorraum über dem (sog. Primkörper) $$\mathbb Z/p \mathbb Z$$. Ein Vektorraum der Dimension n über einem Körper mit q Elementen hat $$q^n$$ Elemente.

Comments

Danke für deine Antwort.. Ist aber leider nicht das wonach ich gesucht habe..

grüße

---

Und wonach suchst du dann?

---

Naja meine Frage war ja warum die Charakteristik eines jeden endlichen Körpers p = prim ist.. Bzw. warum es nur endliche Körper gibt der Form GF(pⁿ) was im Prinzip das gleiche ist.. Das heißt warum weiß man mit Sicherheit dass für jeden GF(q) für q≠pⁿ dies kein endlicher Körper sein kann..

---

Dass die Charakteristik eines endlichen Körpers prim ist und dass Mächtigkeit eines jeden endlichen Körpers eine Primzahlpotenz ist sind zwei verschiedene Fragen. (Das sind in meiner Beweisskizze ja auch zwei zusätzliche Schritte) Du erwähnst Charakteristik in deiner Frage nicht.

---

Ja stimmt.. aber ich denke jetzt müsste es klar sein.

---

Sei $$\varphi: \mathbb Z \to K ,\quad n \mapsto n\cdot 1_K$$ wobei $$n \cdot 1_K$$ definiert ist als n-fache Summe der 1. Diese Abbildung ist ein Ringhomomorphismus. Ist K endlich so hat die Abbildung einen nicht-trivialen Kern. Da Kerne von Ringhomomorphismus Ideale sind und der Ring der ganzen Zahlen ein Hauptidealring ist ist der Kern von der Form (n), für ein n>0. Der Homomorphisatz liefert nun die Existenz eines injektiven Homomorphismus $$\mathbb Z/(n) \to K$$. Damit ist $$\mathbb Z/(n)$$ isomorph zu einem Unterring von K, als solcher notwendigerweise nullteilerfrei, also ein Integritätsring. Damit muss n prim sein.

---

Ok danke.. das ist schon eher wonach ich gesucht habe ;)

Hab mich noch nicht sehr viel mit diesem Thema auseinandergesetzt..

Answer 2

auf die Frage, warum die Charakteristik prim ist, lässt sich antworten, indem man einen Widerspruch konstruiert.

Sei die Charakteristik dabei zusammengesetzt gemäß \( p = a \cdot b \). Wegen der Abgeschlossenheit des Körpers gehören \( a \) und \( b \) gemäß \( a = 1 + 1 + ... + 1 \) und \( b = 1 + 1 + ... + 1 \) zu diesem. \( a \) und \( b \) sind aber Nullteiler (\( a \cdot b = 0 \)), sodass kein Körper vorliegen kann.

MfG

Mister