Beweis Komposition mit bjektiver Funktion

Question

Aufgabe:

Sei f: X—>Y, g: Y—>Z, h: Z—>W und h „Kringel“ g „Kringel“ f: X—>W. Des Weiteren ist bekannt, dass f und h bijektiv sind. Beweisen Sie, dass gilt:

g injektiv <=> h „Kringel“ g „Kringel“ f injektiv

g surjektiv <=> h „Kringel“ g „Kringel“ f surjektiv

g bijektiv <=> h „Kringel“ g „Kringel“ f bijektiv

Problem/Ansatz:

Jetzt ist meine Frage, wie genau mache ich das. Ich bin erst seit ein Woche Mathestudentin und habe echt nicht so viel Ahnung. Ich habe mir gedacht, dass unabhängig davon ob g injektiv, surjektiv oder bijektiv ist, gilt, dass h „Kringel“ g „Kringel“ f bijektiv ist, da h bijektiv ist und man dieses Kringelzeug ja auch einfach als h(g(f(x)) schreiben kann. Damit wäre die eine Richtung bewiesen. Aber erstens glaube ich, dass dieser Denkansatz falsch ist und zweitens fehlt dann ja noch die andere Richtung. Ich wäre über Hilfe dankbar :)

Answer 1

"dass h „Kringel“ g „Kringel“ f bijektiv ist, da h bijektiv ist"

Kann man wohl so nicht sagen.

Aber du kannst ja mal langsam rangehen.

g injektiv bedeutet ja: Wenn g(a)=g(b), dann a=b.

Angenommen, das gilt. Dann musst du schauen, ob auch

h o g o f  injektiv  ist .

Seien also a und b so, dass h(g(f(a))) = h(g(f(b)))

Da h bijektiv, also insbesondere injektiv ist, gilt jedenfalls

                g(f(a)) = g(f(b))

Wegen g injektiv also auch

                     f(a) = f(b) und da f auch injektiv ist, also a=b.

Damit wäre von a) die Richtung "==>" bewiesen.

Gegenrichtung:  Sei h o g o f injektiv und seien a,b ∈ Y mit

                     g(a) = g(b) . Dann ist jedenfalls nach Def.

einer Abbildung h(g(a)) = h(g(b))  .

Da f SURJEKTIV ist gibt es c und d aus X mit

f(c) = a  und f(d)= b.

==>    h(g(f(c))) = h(g(f(d)))  .

Jetzt kannst du die Injektivität von h o g o f benutzen,

es folgt   c = d .

Und wegen der Eindeutigkeit der Abbildung f auch a=b.

Also g injektiv.

Damit ist auch die 2. Richtung von a) bewiesen.

Vielleicht bekommst du es in dieser Art auch bei b) und c) hin,

sonst frag nochmal nach.

Comments

Vielen Dank für ihre Mühe. Ich glaube ich bin gerade mit dem Druck, den ich mir selber mache ein bisschen überfordert. Ich hätte ja gesagt, ich schaue es mir morgen noch einmal in Ruhe an, aber ich weiß, dass ich morgen auch keine Ruhe finden werde, weil ich das Gefühl habe das alles nicht rechtzeitig zu schaffen. Deshalb antworte ich jetzt so gut es geht.

1. Frage: Warum muss man bei dieser Gegenrichtung  erst diesen Umweg nehmen und kann nicht sagen „es seien a, b Elemente aus Z, sodass h(g(f(a)))=h(g(f(h)))“?

2. Ich komme bei Surjektiv nicht weiter. Ich bin zu sehr in der Panik gefangen, dass ich das alles nicht (rechtzeitig) schaffe, als das ich denken könnte.

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Bei der Gegenrichtung ging es ja um den

Nachweis von :    g ist injektiv.

Dazu muss man mit zwei Elementen des

Def.bereiches von g beginnen.

Bei :   "g surjektiv <=> h o g o f surjektiv"

Musst du etwa für "==>" überlegen:

Ich habe g surjektiv und muss (damit) begründen

              h o g o f surjektiv.

Das heißt: Zu jedem Element b aus dem Zielbereich

von h o g o f muss es ein El. a aus dem Def.bereich von

h o g o f geben mit (h o g o f) (a) = b

Sei also b∈W.     Da h bijektiv also auch surjektiv ist,

gibt es ein d∈Z mit h(d)=b.

Da g surjektiv (Vor.!) gibt es ein e∈Y mit g(e) = d,

also b =  h(d) = h(g(e))  = (hog)(e).

Versuche mal weiter zu argumentieren, warum es also ein

a∈X geben muss mit (h o g o f) (a) = b

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Okay und da f bijektiv, also auch surjektiv ist, gibt es ein a∈X mit f(a)=e. h ο g ο f ist also surjektiv.

Und die Gegenrichtung:

Sei h ο g ο f surjektiv. Außerdem sei x∈X und d∈W.

Nach Voraussetzung gilt h(g(f(x)))=d. Da h bijektiv, also auch surjektiv ist gibt es ein a∈Z mit h(a)=d. Daraus folgt, es muss für alle a∈Z ein b∈Y geben mit g(b)=a. g ist also surjektiv.

Das ist bestimmt auch irgendwie nicht richtig. Ich muss da wohl noch etwas üben. Ich finde das echt schwierig mit surjektiv, injektiv und co.

Da fällt mir wieder ein: bijektiv fehlt noch.

Lässt sich die dortige Äquivalenz aus den bisherigen Ergebnissen herleiten? Also kann man das irgendwie so schreiben?

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Das ist m.E. etwas knapp:

Okay und da f bijektiv, also auch surjektiv ist, gibt es ein a∈X mit f(a)=e. ✓

Also (h ο g ο f)(a) =  (hog)(f(a)) =  (hog)(e) = b

Damit ist  h ο g ο f surjektiv.

Und die Gegenrichtung:

Sei h ο g ο f surjektiv. Außerdem sei d∈Z,

(Du musst ja zeigen: Zu jedem d∈Z gibt es a∈Y

            mit g(a)=d )

dann ist h(d) ∈ W.

Da h ο g ο f surjektiv ist, gibt es b∈X mit (h ο g ο f)(b) =h(d)

also h( ( g ο f)(b)) =h(d) .

Da h INJEKTIV ist, gilt d= (g ο f)(b) = g(  f(b) ).

Also gibt es a∈Y [nämlich f(b) ]

mit g(a) = d.

Zu bijektiv:    g bijektiv

<=>  g injektiv und g surjektiv
(nach dem Bisherigen)

<=>  h ο g ο f surjektiv und h ο g ο f injektiv

<=>   h ο g ο f bijektiv