Bestimmen Sie eine Basis von V + W und von V geschnitten mit W.

Question

Aufgabe:Sei V = $$ < \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} >  und W = <  \begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz: Bestimmen Sie eine Basis von V + W und von V geschnitten mit W.

So das hakt bei mir im als Schnitt von V und W habe ich den Nullvektor was aber bestimmt falsch ist, brauche also Hilfe zur Aufgabe

Answer 1

\(< \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} >  und W = <  \begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Ansatz für den Schnitt, bestimme alle 2x2 Matrizen, für die es a,b,c,d,e aus ℝ gibt mit

\(a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = d \begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}+e \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

==>   a                   = d
            b              = e
                 c         = d
                         0  =e

==>   e=b=0 und a=c=d

also sind alle Matrizen des Schnittes von der Form \(  d \begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}   \).

Somit ist der Schnitt 1-dimensional und eine Basis \( \begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & 1 \end{pmatrix}  \).

Damit hat V+W die Dimension 4, ist also der ganze Raum der 2x2 Matrizen.

Comments

Saugut erklärt, danke für deine Hilfe