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Willkommen in der Mathelounge... \o/
zu i) Das Gleichungssystem hat für alle \(b\in\mathbb R\) eine eindeutige Lösung:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Operation}\\\hline2 & 2 & -1 & 2 &-2\cdot\text{Gleichung 2}\\1 & 0 & 1 & 2b+1 &\\3 & 1 & 1 & 3b+3 &-3\cdot\text{Gleichung 2}\\\hline0 & 2 & -3 & -4b &-2\cdot\text{Gleichung 3}\\1 & 0 & 1 & 2b+1 &\\0 & 1 & -2 & -3b &\\\hline0 & 0 & 1 & 2b &\\1 & 0 & 1 & 2b+1 &-\text{Gleichung 1}\\0 & 1 & -2 & -3b &+2\cdot\text{Gleichung 1}\\\hline0 & 0 & 1 & 2b &\implies z=2b\\1 & 0 & 0 & 1 &\implies x=1\\0 & 1 & 0 & b &\implies y=b\end{array}$$Die gesuchte Lösung lautet daher:\(\quad\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\b\\2b\end{pmatrix}\)
zu ii) Der Funktionsterm besteht aus 2 quadratischen Termen, die beide immer \(\ge0\) sind:$$f(x;y;z)=\underbrace{(x+y+z)^2}_{\ge0}+\underbrace{(x+2y+4z)^2}_{\ge0}$$Damit der Funktionswert \(0\) wird, müssen beide eingeklammerten Terme \(=0\) sein.
Das führt uns auf ein kleines Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 1 & 1 & 0 & \\1 & 2 & 4 & 0 & -\text{Gleichung 1}\\\hline1 & 1 & 1 & 0 & -\text{Gleichung 2}\\0 & 1 & 3 & 0\\\hline1 & 0 & -2 & 0 & \implies x-2z=0\\0 & 1 & 3 & 0 &\implies y+3z=0\end{array}$$Wir erhalten also \((x=2z)\) und \((y=-3z)\) und damit alle Lösungen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2z\\-3z\\z\end{pmatrix}=z\cdot\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$$Da wir für \(z\in\mathbb R\) jede beliebige reelle Zahl einsetzen können, gibt es unendlich viele Argumente, die auf die Null abgebildet werden.
