Wurzel komplexer Zahlen 2i

Question

Aufgabe:

Wurzel von komplexen Zahlen

Problem/Ansatz:

Ich sollte die Wurzel von 2i ziehen. Ich habe es mithilfe von Polarkoordinaten gelöst, jedoch habe ich nur als Lösung 1+i. Ist -1-i nicht auch eine Lösung? Wie komme ich auf die?

Answer 1

Aloha :)$$\sqrt{2i}=\sqrt{1+2i-1}=\sqrt{1+2i+i^2}=\sqrt{(1+i)^2}=\pm(1+i)$$

Answer 2

Wie komme ich auf die?

Mit der Formel von Moivre.

Comments

In der Aufgabe wurde aber gesagt mittels Polarkoordinaten.

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Das ist doch kein Widerspruch.

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Ich interpretier das so, dass ich das in die Polarform übertrage mit cos und sin. Damit kriege ich 1+i aber nicht -1-i.

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Mit Polarform und Moivre bekommst du auch die zweite Lösung.

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Mit Moivre habe ich es gerade ausgerechnet. Was muss ich mit der Polarform machen?

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https://www.maths2mind.com/schluesselwoerter/satz-moivre#:~:text=Der%20Satz%20von%20Movire%20erleichtert%20das%20Potenzieren%20komplexer%20Zahlen%20in,Multiplikation%20eines%20Winkels%20(%20)%20vereinfacht.

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Ich dachte du meinst ich kann nur mit der Polarform beide Lösungen kriegen.

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Nein, ich meinte, du kannst AUCH mit der Polarform beide Lösungen bekommen.

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Wie denn?

Ich habe stehen:

\( \sqrt{2} \)*(cos(\( \frac{π}{4} \))+i*sin(\( \frac{π}{4} \)))

(nicht mit der Eulerschen Identität)

Answer 3

2·i in der Polarform lautet z.B.

2·i = 2·e^{i·pi·(1/2 + k·2)} für k ∈ Z

oder

2·i = 2·(COS(pi·(1/2 + k·2)) + i·SIN(pi·(1/2 + k·2)))

Wie ziehst du daraus jetzt die Wurzel?