Folgenkonvergenz - Äquivalenz zeigen

Question

Aufgabe: Es sei (a_n) eine Folge reeller Zahlen. Welche der folgenden Aussagen sind äquivalent dazu, dass (a_n) gegen a ∈ ℝ konvergiert? Begründen Sie Ihre Antwort oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.

(a) ∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N : |a_n - a| < 1/ε

(b) ∃c > 0 ∀ε > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N : |a_n - a| < cε

(c) ∀ε > 0 ∃c > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n ≥ N : |a_n - a| < cε

(d) ∀ε > 0 ∀N ∈ ℕ ∀n ≥ N : |a_n - a| < ε

Problem/Ansatz:

Ich bin bei dieser Aufgabe irgendwie ein bisschen planlos, kann mir da jemand weiterhelfen?

Answer 1

(d) ist falsch. Gegenbeispiel

\(  a_n=\frac{n+5}{n}  \) geht ja gegen 1, aber z.B. für n=1 und ε=1

gilt nicht |a_n - a| < ε ; denn |6-1|=5 > 1.

Comments

Was genau ist fracn ? Ist das nicht einfach ein Bruch? Aber was steht dann im Zähler und was im Nenner? Könnte jemand das Gegenbeispiel nochmal ohne diese LaTeX Schreibweise aufschreiben?

Aber vielen Dank schonmal für die Hilfe!!

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Habe es korrigiert .