Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D_{f} \subseteq ℝ der Abbildung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \( D_{f} \subseteq \mathbb{R} \) der Abbildung
\( f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto|x|^{3} \)
und untersuchen Sie \( f \) anschließend auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.

Problem:

Kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der maximale Definitionsbereich der Abbildung$$f\colon D_f\to\mathbb R\,,\, x\mapsto|x|^3$$sind alle reellen Zahlen \(D=\mathbb R\).

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens ein Mal getroffen wird. Wegen \(f(-1)=|-1|=1\) und \(f(1)=|1|=1\) wird aber z.B. das Element \(1\) aus der Zielmenge zwei Mal getroffen. Daher ist die Abbildung nicht injektiv.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens ein Mal getroffen wird. Da die Zielmenge ganz \(\mathbb R\) ist, sind auch alle negativen Zahlen darin enhalten. Da die Betrags-Funktion nur nicht-negative Ergebnisse liefert, wird keine einzige negative Zahl getroffen. Die Abbildung ist nicht surjektiv.

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau ein Mal getroffen wird. Das heißt, eine Funktion ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Da die Funktion hier keins von beiden ist, ist sie auch nicht bijektiv.

Answer 2

Da es keine Einschränkung gibt, gilt D = R

Zudem gilt: f(x) = f(-x)

f(x) ist injektiv, aber nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.

Comments

Wenn f(x)=f(-x) ist, wie kann dann f injektov sein?