Äuqivalenzrelation Beweisen Sie

Question

Aufgabe:

Sei R ⊂ M × M eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Für x ∈ M bezeichnet
[x] := {y ∈ M ; y R x}
die von x erzeugte Äquivalenzklasse (bzgl. der Relation R). Zeigen Sie: Jedes Element aus M ist
in genau einer Äquivalenzklasse (bzgl. R) enthalten.
Anmerkung: Das bedeutet, dass die Menge M/R := {[x] ; x ∈ M} der Äquivalenzklassen eine
sogenannte Partition von M ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich diesen Beweis aufschreiben soll... Unser Prof hat uns das nicht richtig erklärt und sitze an allen Aufgaben insgesamt schon 3h. Kriege es einfach nicht hin, egal mit welchen Material online. Ich bitte um Hilfe

Answer 1

1. Für jedes \(x\in M\) gilt \(x\in [x]\),

da \(R\) reflexiv ist.

2. Sei \(x\in [y]\) und \(x\in [z]\). Dann gilt

\(xRy\wedge xRz\), also wegen Symmetrie und Transitivität:

\(yRz\).

Ist nun \(u\in [y]\), dann gilt \(uRy\), und wegen \(yRz\) folgt

\(uRz\) (transitiv) , also \(u\in [z]\), folglich ist \([y]\subseteq[z]\)

Analog ergibt sich \([z]\subseteq [y]\) und damit \([y]=[z]\)

Comments

Könnte ich das so als Lösung übertragen? Hatte das dadurch erst verstanden, danke.

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Ja. Ich denke, dass das eine akzeptable Lösung ist.
Damit kannst du alles machen, wozu du lustig bist ;-)