Alle Untergruppen von Permutationsgruppe

Question

Aufgabe

Sei G = S4 die symmetrische Gruppe von Grad 4, also die Permutationsgruppe von {1, 2, 3, 4}.

(a) Bestimmen Sie alle Elemente, die 1 auf 1 abbilden.

(b) Zeigen Sie, dass diese Elemente eine Untergruppe bilden.

(c) Begründen Sie kurz, warum diese Untergruppe gleich viele Elemente wie S3 hat.

Problem/Ansatz:

Hab keine Ahnung, wie ich das zeigen soll.

Kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

a) aufschreiben

Eine einfache Idee ist, Permutationen von n-1 Elementen zu verwenden, um Permutationen von n Elementen zu erzeugen. Erzeugen Sie Permutationen S3 mit Permutationen S2.
Permutationen von zwei Elementen S2: 1 2 und 2 1.
Permutationen aus drei Elementen erhält man, indem man in allen Permutationen S2 an allen Stellen 3 einfügt.

\(\scriptsize \left\{ \left(\begin{array}{rrrr}1&2&3&4\\1&2&3&4\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&2&3&4\\1&2&4&3\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&2&3&4\\1&3&2&4\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&2&3&4\\1&3&4&2\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&2&3&4\\1&4&2&3\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&2&3&4\\1&4&3&2\\\end{array}\right) \right\}\)

b) damit Gruppenaxiome prüfen

c) Anzahl Permutationen von n Elementen n!