Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Question

Aufgabe:

b) Für alle $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, gilt

$\displaystyle \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n} .$

Problem/Ansatz:

Ich brauche hilfe bei b

Answer 1

Wo genau liegt die Schwierigkeit bei b?

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Zum Beweis der Behauptung:$$\prod\limits_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}$$führen wir eine vollständige Induktion durch.

1) Verankerung bei $n=2$$$\prod\limits_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\prod\limits_{k=2}^2\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=1-\frac{1}{2^2}=\frac34\quad;\quad \frac{n+1}{2n}=\frac{2+1}{2\cdot2}=\frac34\quad\checkmark$$

2) Induktionsschritt von $n$ auf $(n+1)$$$\prod\limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)\prod\limits_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)\cdot\frac{n+1}{2n}$$$$\phantom{\prod\limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)}=\frac{\green{(n+1)^2-1}}{(n+1)^2}\cdot\frac{n+1}{2n}=\frac{\green{n^2+2n}}{\pink{(n+1)^2}}\cdot\frac{\pink{(n+1)}}{2n}=\frac{n^2+2n}{\pink{(n+1)}\cdot2n}$$$$\phantom{\prod\limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)}=\frac{\pink n(n+2)}{(n+1)\cdot2\pink n}=\frac{n+2}{2(n+1)}\quad\checkmark$$