Zeigen, dass eine Menge kompakt ist

Question

Text erkannt:

\( M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+4 y^{2}+\frac{1}{9} z^{2}=1\right\} \)

Es soll gezeigt werden, dass die Menge M kompakt ist.

Ich weiß, dass ich um zu zeigen das die Menge kompakt ist, zeigen muss dass die Menge beschränkt und abgeschlossen ist. Ich weiß aber nicht wie ich das machen soll.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Da ich nicht weiß, welche Sätze ihr in der Vorlesung bereits besprochen habt, hier nur ein kleiner Denkanstoss.

Die Bedingungsgleichung für die Zugehörigkeit zur Menge \(M\) kannst du umschreiben:$$\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left(\frac12\right)^2}+\frac{z^2}{3^2}=1$$

Daraus kannst du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ablesen:$$(\pm1|0|0)\quad;\quad;\left(0\big|\pm\frac12\big|0\right)\quad;\quad(0|0|3)$$die zugleich die Extremwerte für jede der Variablen \(x, y, z\) darstellen.

Zusätzlich kannst du einen Ortsvektor \(\vec r\) angeben, der alle Punkte der Menge abtastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\vartheta\\\frac12\sin\varphi\sin\vartheta\\3\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$wobei beide Variablen \(\varphi\) und \(\vartheta\) über kompakte beschränkte Intervalle laufen.