Aufgabe:
Sei V Vektorraum. Zeige:
(a) Wenn A und B Basen von V sind, dann gilt: ∀a∈A∃b∈B:((B\{b})∪{a}istBasis).
(b) Wenn C und D Basen von V sind, dann gilt: ∀c ∈ C ∃d ∈ D : ((C \ {c}) ∪ {d} ist Basis).
Anmerkung: Bei Verwendung des Austauschlemmas muss angegeben werden, was für die Parameter M und m im Austauschlemma einzusetzen ist.
Anmerkung: Die Sätze sind für beliebige Vektorräume V zu beweisen, nicht nur für endlichdimensionale. Hinweis: A 2.5.4 darf verwendet werden.
Hinweis: Beachte den Unterschied zwischen (a) und (b). In (a) ist der hinzuzufügende Vektor a beliebig, in (b) der wegzunehmende Vektor c.
