Die Folge a_n = ((3n+1)^2)*(5n+1)/((n^3)+17) auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe: Die Folge a_n = ((3n+1)^2)*(5n+1)/((n^3)+17) auf Konvergenz untersuchen

Problem/Ansatz: Ich soll die Folge a_n = ((3n+1)^2)*(5n+1)/((n^3)+17) auf Konvergenz untersuchen und ggf. den Grenzwert bestimmen.

Ich weiß, dass die Folge konvergiert, und der Grenzwert für n -> unendlich lautet 45. Mein Problem ist, dass ich den Beweis für die Konvergenz nicht hinkriege. Ich habs mit dem normalen Beweis |a - a_n| < ε probiert, und ich habe versucht zu zeigen, dass a_n eine Cauchy-Folge ist mit |a_n - a_m| < ε. Aber in der Vorlesung hatten wir nur einfache Folgen für die Beweise genutzt, und mit dieser doch etwas größeren Folge komm ich einfach nicht klar.

Bei meinem ersten Ansatz komme ich z.B. irgendwann auf die Ungleichung (39n^2 + 11n -764)/(n^3 + 17) < ε, und dieses Ding dann nach n umzustellen krieg ich einfach nicht hin.

Hilfe jedweder Form wird dankend entgegen genommen.

Answer 1

Hallo :-)

Ich weiß jetzt zwar nicht, wie du auf deine letzte Ungleichung gekommen bist. Es bietet sich aber oft an, Grenzwertsätze zu nutzen wie, dass die Summe konvergenter Folgen auch konvergent ist, nämlich gegen die Summe der einzelnen Grenzwerte. Gleiches gilt für Produkt und Qoutient. Ansonsten kann man immer versuchen, den zu betrachtenden Ausdruck, abzuschätzen, um eben solche unschönen Ungleichungen wie deine zu umgehen.

Answer 2

\(a_n =\frac{(3n+1)^2*(5n+1)}{n^3+17}\\=\frac{(9n^2+6n+1)*(5n+1)}{n^3+17}\\=\frac{45n^3+9n^2+30n^2+6n+5n+1}{n^3+17}\\=\frac{45n^3+39n^2+11n+1}{n^3+17}\\=\frac{45+\frac{39}{n}+\frac{11}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{17}{n^3}}\)

\( \lim\limits_{n\to\infty}\frac{45+\frac{39}{n}+\frac{11}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{17}{n^3}}=45 \)

Answer 3

Klammern auflösen und mit der höchsten Potenz von n kürzen.