Beweise von offenen Mengen

Question

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

Geben Sie auch ein Beispiel an, bei dem der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen nicht mehr offen ist.

Mein Ansatz:

A: A ⊂ ℝⁿ offen => ∩A offen:

Sei X₀ ∈ ∩A Dann gilt:

x₀ ∈ A => ∃ε > 0: B_ε (x₀) ⊂ A ⊂ ∩A

Kann man das so machen oder ist das schon falsch, bzw. auch von der Syntax her.

Danke.

Comments

Was soll denn $A$ sein? Einfach nur eine offene Teilmenge?

Aber was bedeutet dann $\bigcap A$ ?

Zeige, dass der Durchschnitt zweier offener Mengen offen ist.

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Achso, das hatte ich nicht so verstanden, ich bin gerade etwas verwirrt.

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Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Ich glaube ich habe das noch von dieser Aufgabenstellung habe nicht beachtet ,dass hier von beliebig geredet wird und in der Frage von endlich vielen, falls dass überhaupt den Unterschied macht.

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Das macht in der Tat einen Unterschied:

der Durchschnitt beliebig vieler offenen Mengen muss nicht

offen sein. Ebenso muss die Vereinigung beliebig

vieler abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen sein.

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wie würde das dann Notiert werden? also sowohl für:

"Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen."

als auch:

"Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

Geben Sie auch ein Beispiel an, bei dem der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen nicht mehr offen ist."

Ich bin mit der Notation etwas verwirrt.

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zur Schreibweise:
z.B.: Sei $(A_i)_{i\in I}$ eine beliebige Familie offener Mengen,
dann ist $\bigcup_{i\in I}A_i$ offen.

Für endlich viele offene Mengen:
Seien $A_1,\cdots,A_n$ offen, dann ist
$A_1\cap\cdots\cap A_n=\bigcap_{i=1}^n A_i$ offen.

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Vielen lieben Dank!

Answer 1

Seien $A_1,A_2$ offen und $x_0\in A_1\cap A_2$.

Da $A_i$ offen ist für i=1,2 gibt es $\epsilon_i>0$, so dass

$B_{\epsilon_1}(x_0)\subset A_1$ und $B_{\epsilon_2}(x_0)\subset A_2$.

Wir setzen $\epsilon=\min(\epsilon_1,\epsilon_2)$, dann gilt

$B_{\epsilon}(x_0)\subset A_1\cap A_2$.

$A_1\cap A_2$ ist also offen.

Der Durchschnitt der offenen Intervalle

$\bigcap_{n\in\mathbb{N}} (-1/n, \;1/n)$ ist $\{0\}$,

also nicht offen.

Comments

für i = 1 bis 2 soll gemeint sein oder? Wenn ja, wie genau kommt man darauf?

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Man kann sich doch eine Skizze für zwei offene Mengen
im $\mathbb{R}^2$ machen ...