Gleichung einer komplexen Zahl mit konjugierter komplexen Zahl

Question

Aufgabe:

Löse Sie die Gleichung z²-2*z' +1 = 0 in C ( Das z' ist die komplexe konjugierte Zahl)

Problem/Ansatz:

Ich denke, ich muss für z und z' jeweils Z = a +bi und Z' = a -bi einsetzen, aber wie gehe ich jetzt vor ader was ist die Lösung?

Answer 1

z²-2*z' +1 = 0

(a+bi)^2 -2(a-bi) + 1 = 0

<=>  a^2 + 2abi - b^2 -2a + 2bi + 1 = 0

<=>  a^2 - b^2  -2a + 1 + 2abi +2bi= 0

<=>  a^2 - b^2  -2a + 1 = 0     und  2b(a+1)i= 0

<=>  a^2  -2a + 1 = 0    und (  b= 0    oder a=-1) 

<=>  (a -  1)^2  = 0    und b= 0
       oder a=-1  und 1-b^2 +2 + 1=0 <=>  b^2=4
                                                 b=2 oder b=-2

Comments

müsste es nicht a²  +2abi - b² -2a +2bi + 1 = 0 sein? Das ergebnis aber müsste doch noch gleich sein.

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Oh ja, vertan. Ich versuche mal Korrektur.

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wie löst sich denn 2abi auf im zweiten Schritt auf?

Also dass dann dort steht:

a^2 -b^2 -2a + 1 +2bi = 0