Dezimaldarstellung von x einer periodischen stelle k0, rationalität zeigen

Question

Aufgabe:

Es sei x ∈ [0, 1) als Dezimalbruch x =
$$ \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_{k}10^{-k}  $$ mit $$ a_{k} ∈  \lbrace 0, 1, ..., 9 \rbrace $$ gegeben.
Zeigen Sie: Ist die Dezimaldarstellung von x von einer Stelle k0 ∈ N an periodisch (das
bedeutet: es gibt ein p ∈ N, so dass $$ a_{k} = a_{k+p} $$  für alle k ≥ k0), so ist x rational.

Problem/Ansatz:

Wie genau löse ich die aufgabe?

Answer 1

Hallo,

ich zeige es einmal an einem Beispiel.

$$x=0,234\overline{56}~~;~~ p=2~~;~~k_0=4$$ $$10^5 x= 23456,\overline{56} ~~~;~~~ 10^{p+k_0-1} x$$ $$10^3 x= 234,\overline{56}~~~;~~~10^{k_0-1} x$$ $$10^5 x - 10^3 x= 23456 - 234$$ $$(10^5 - 10^3) x= 23456-234$$ $$ x=\frac{23456 - 234}{10^5-10^3}$$

Den Zähler musst du als Differenz zweier endlicher Summen schreiben, den Nenner mit den angegebenen Zehnerpotenzen.

:-)

Comments

wie bestimme ich (10^p * x - x) * 10^k0 ? Muss ich hier nach x auflösen?