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Awalysis
Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfallt exponentiell, d. \( h \). in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab.
Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion p mit
\( p(x)=200 \cdot e^{-0,0480 x} \text { und } x \in R, x \geq 0 \text {. } \)
beschrieben. Dabei ist \( \mathrm{x} \) die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und \( \mathrm{p}(\mathrm{x}) \) die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.
a) Geben Sie die Bedeutung des Faktors 200 im Sachzusammenhang an und berechnen Sie den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.
b) Bestimmen Sie das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.
Bei dem Zerfall des Plutonium-241 entsteht radioaktives Americium-241, das ebenfalls exponentiell zerfällt. Im verwendeten Modell gibt die Funktion a mit \( a(x)=207 \cdot\left(1-e^{-0,0464 x}\right) \cdot e^{-0,0016 x} \) für jedes Jahr die Masse des vorhandenen Americium-241 in Milligramm an.
c) Der Graph von a kann für einen Wert von \( k \) aus dem Graphen der Funktion \( h_{k} \) aus Aufgabe \( 1.1 \) erzeugt werden, indem man diesen in \( x \)-Richtung und in y-Richtung streckt.
Geben Sie die beiden Streckungsfaktoren an und bestimmen Sie den passenden Wert von \( k \).
d) Im Funktionsterm von a erfasst der Faktor \( 1-e^{-0,0484 x} \) die Zunahme der Masse des vorhandenen Americium-241 und der Faktor \( e^{-0,0016 x} \) den Zerfall des vorhandenen Americium-241.
Begründen Sie, dass es einen Zeitpunkt gibt, zu dem beide Faktoren den gleichen Wert annehmen.
e) Geben Sie die Bedeutung der Aussage \( \frac{a(73)}{73} \approx 2,4 \mathrm{im} \) Sachzusammenhang an. Begründen Sie Ihre Angabe.
