Beweis fallende Faktorielle

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für \( m, n \in \mathbb{Z} \) mit \( m<0 \) und \( n \geq 0 \), dass \( x^{\frac{m+n}{ }}=x^{\frac{m}{}}(x-m)^{\underline{n}} \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), für die die fallenden Faktoriellen definiert sind, gilt.

Problem/Ansatz:

Wegen den Betrachtungen von m < 0 und n >=0 bin ich verwirrt. Es geht um fallende Faktorielle

Comments

Wie habt Ihr fallende Faktorielle für negative m definiert?

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wenn man fallende faktorielle mit einer negativen Potenz hat: x^-1 = 1/(x+1) / x^-2 = 1/(x+1)+(x+2) usw.

Answer 1

Hallo,

es ist wirklich etwas vertrackt. Um damit fertig zu werden, habe ich m durch -m ersetzt, so dass also m positiv ist. Und ich notiere die Faktoriellen alle einheitlich, also zum Beispiel die fallende Faktoriellenfür positives k als

$$\prod (x+i), i=-k+1 \dots 0$$

Zunächst zum Fall \(-m+n>0\): Ich betrachte die einzelnen Terme der Gleichung:

$$\text{ links: } \prod(x+i), i=m-n+1 \dots 0$$

$$\text{ rechts, 1. Faktor: } \prod(x+i)^{-1}, i= 1\dots m $$

$$\text{ rechts, 2. Faktor: } \prod(x+i), i= m-n+1\dots m$$

Jetzt sieht man, dass sich rechts die Terme mit i=1,...,m kürzen, wie gewünscht.

Zum Fall \(-m+n<0\):

$$\text{links: } \prod(x+i)^{-1}, i= 1\dots m-n$$

$$\text{ rechts, 1. Faktor } \prod(x+i)^{-1}, i= 1\dots m$$

$$\text{ rechts, 2. Faktor} \prod(x+i), i=m-n+1 \dots m$$

Auch hier kürzt sich alles, wie gewünscht.