Konvergenz für |q| < 1 und Divergenz für |q| > 1 (Vorgehen des Profs. wird nicht ganz Nachvollzogen)

Question

Aufgabe:

Ich verstehe nicht ganz, weshalb der Prof. hier die Reihe s_n mit q * s_n multipiliziert und diese neu entstandene Reihe von der alten subtrahiert.

Problem/Ansatz

Wir zeigen, dass die als geometrische Reihe \( ^{2)} \) bezeichnete unendliche Reihe
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} q^{n-1}=1+q^{1}+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-1}+\ldots \)

für \( |q|<1 \) konvergiert, für \( |q| \geq 1 \) dagegen divergiert.

Zunächst bilden wir mit der \( n \)-ten Partialsumme

\( s_{n}=1+q^{1}+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-1} \)

die Differenz \( s_{n}-q \cdot s_{n} \) und erhalten daraus eine einfache Formel für den Summenwert von \( s_{n} \) :

\( \begin{array}{l} s_{n}=1+q^{1}+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-2}+q^{n-1} \\ q \cdot s_{n}=\quad q^{1}+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n-2}+q^{n-1}+q^{n} \\ s_{n}-q \cdot s_{n}=1-q^{n} \\ s_{n}(1-q)=1-q^{n} \\ s_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q} \quad(q \neq 1) \end{array} \)

Answer 1

Er macht das, weil damit gezeigt werden kann, dass die geometrische Reihe für \(|q|<1\) konvergiert, für \( |q| \geq 1 \) dagegen divergiert.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Dein Prof hat zwei Veränderungen vorgenommen:

(1) Die obere Grenze von \(\infty\) auf \(N\) gesetzt:\(\quad S_N=\sum\limits_{n=0}^Nq^n\)

(2) Von dieser Summe \(S_N\) das \(q\)-Fache der Summe subtrahiert.

Den zweiten Schritt macht er, weil sich dann fast alle Summanden gegenseitig auslöschen:

$$(1-q)S_N=S_N-q\cdot S_N=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\pink q\cdot\sum\limits_{n=0}^Nq^n=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=0}^Nq^{n\pink{+1}}$$$$\phantom{(1-q)S_N}=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=0\green{+1}}^{N\green{+1}}q^{(n\green{-1})\pink{+1}}=\sum\limits_{n=0}^Nq^n-\sum\limits_{n=1}^{N+1}q^n$$$$\phantom{(1-q)S_N}=\left(q^0+\sum\limits_{n=\pink1}^Nq^n\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{\pink N}q^n+q^{N+1}\right)=q^0-q^{N+1}=1-q^{N+1}$$

Siehst du, dass die verbliebenen Summen sich gegenseitig wegheben?

Für \(q\ne1\) kann man nun beide Seiten durch \((1-q)\) dividieren:$$S_N=\sum\limits_{n=0}^Nq^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\quad;\quad q\ne1$$

Bei \(|q|<1\) konvergiert der Zähler für \(N\to\infty\) gegen \(1\) und der Grenzwert ist \(\frac{1}{1-q}\).