a) Quotientenkriterium
Ι(3^2n+1)/(2^3n+1) / (3^2n)/(2^3n)Ι
Ι(3^2n+1)*(2^3n) / (2^3n+1)*(3^2n)Ι
dann würde ich die Potenzen mit n vereinfachen
Ι(27*3^n)*(8*2^n) / (16*2^n)*(9*3^n)Ι
wenn du richtig "gekürzt" und gerechnet hast. kommst du auf Ι1,5Ι
du weißt ja wenn ΙqΙ < 1, dann konvergiert es bzw. ΙqΙ>1 divergiert es.
Bzw. ohne Betragsstriche:
-1 < q < 1 -> konvergiert
ΙqΙ > 1 -> divergiert
Falls es gleich 1 ist, dann gibt es keine Konvergenzaussage.
Ι1,5Ι > 1,
also divergiert es.
b) Quotientenkriterium
analog zum ersten
c)
n2^n ÷ 3^n
n rausziehen und dann Wurzelkriterium.
also (n2/3)^n
d) Quotientenkriterium
hier sieht es schwer aus, ich zeigs dir ma, aber ist wie die davor
2^(n+1) / (n+1)! / 2^(n) / (n)!
(2^(n+1)) * (n!) / ((n+1)!) * 2^(n)
bevor wir uns um die Fakultät kümmern. 2 hoch n plus 1 ist ja das gleiche wie = 2*2^n davon, das 2^n haben wir unten im Bruch, also rausstreichen
dann haben wir
(2* (n!)) / (n+1)!
überlegen wir uns was n+1! ist
(n+1)*(n)*(n-1)*...
und n! ist dann:
n*(n-1)*(n-2)*...
das heißt, wir können auch aus dem n+1! die erste multiplikation herausziehen, also "n+1" und dann steht das gleiche wie n! noch da, also haben wir: (n+1)* n!
(2* (n!)) / (n+1)* n!
nun siehst du. du kannst n! rauskürzen
2*1 / (n+1)*1
2/n+1
btw. natürlich das alles im Betrag.
das setzten wir dann im limes
lim 2/n+1, ist natürlich eine 0 Folge
n->∞
und da unser Grenzwert nach dem Quotientenkriterium 0 ist und 0 kleiner als 1 ist, bzw größer als -1 und kleiner als +1, konvergiert diese Reihe.
hab für extra die b und c nicht gemacht, damit du selbst versuchen kannst :)
