Sei V ein K-Vektorraum mit dimK(V)=n. Dann gilt:

Question

a) SeiV ein K-Vektorraum mit dimK(V)=n. Dann gilt:

i) |V|=pn,wenn K=Fp.

ii) V ={0V} oder |V|=∞ , wenn |K| = ∞.
b) Kann auf der abelschen Gruppe (V,+) = (F213,+) eine skalare Multiplikation definiert werden, die V zu einem R-Vektorraum macht?

Problem

i) habe ich gelöst aber irgendwie hänge ich bei ii) und b) fest

Answer 1

ii)  SeiV ein K-Vektorraum mit dimK(V)=n.

==>  Für V≠0V gibt es eine K-Basis für V      \(  (v_1, \dots, v_n )   \)

mit n≥1 und alle Elemente von V lassen sich eindeutig darstellen durch ein

n-Tupel von Elementen von K   \(  (a_1, \dots, a_n )  \)  in der Form \(   v= \sum\limits_{i=1}^n a_iv_i\).

Wegen der linearen Unabhängigkeit der   \(  (v_1, \dots, v_n )  \)  sind die so

dargestellten v insbesondere alle verschieden, also gibt es so viele Elemente

in V wie es n-Tupel   \(  (a_1, \dots, a_n )  \) gibt. Bei |K| = ∞ also auch |V|=∞.

Answer 2

Zu b)

    Nein, wegen ii)