Finden Sie alle stetigen Funktionen F ...

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle stetigen Funktionen \( F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), so dass \( F\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{F(x)+F(y)}{2} \) für alle \( x, y \in \mathbb{R} \).

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe stehe ich leider komplett auf dem Schlauch ... kann mir jemand helfen? Ein Lösungsweg wäre super, super hilfreich, verstehe nicht so genau, wie man an so eine Aufgabe rangeht ... Vielen Dank

Comments

Also die Gleichung, die dort steht gilt für lineare Abbildungen. In R wären das dann ax+b , a und b beliebig und diese Funktionen sind dann auch stetig. Es ist dann nur zu zeigen, dass es tatsächlich nicht mehr gibt.

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Hallo
probier es mal aus. Zeichen an beliebigen Stellen Werte für f(x) und f(y) ein bestimme daraus f((x+y)/2), halbiere das Intervall mach dasselbe verdopple das Intervall, mach dasselbe. was merkst du ?

erst dann gehts ans beweisen.

lul

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Alles klar, jetzt mit den Erklärungen wirkt es fast trivial, vielen Dank :)

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Zu zeigen, dass allerdings nicht mehr existieren, ist nicht so trivial :)

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Wie würde das aussehen?

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Versuch einen Widerspruchsbeweis!

lul