Berechnen Sie: Grenzwertbetrachtung gegen Unendlich über ein Integral

Question

Aufgabe:

3. Berechnen Sie:
a) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \int \limits_{0}^{x} \frac{1}{t+e^{-1}} d t\right) \)
b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \int \limits_{0}^{x} \frac{t+1}{t^{2}+2} d t\right) \)

Problem/Ansatz:

Servus liebe Mathelounge-Mitglieder,

ich benötige Hilfe bei den oben genannten Aufgaben. Wie gehe ich jetzt hier vor?
Mein Ansatz wäre jetzt bei der a) die Stammfunktion von 1/t+e^-1 ist ja ln(|t+e^-1|)

Dann würde ich den Verlauf für x -> inf. betrachten. Der vorfaktor 1/x würde für

x -> inf gegen 0 laufen oder infinitimal klein werden. Theoretisch könnte ich doch dann

direkt darauf schließen, dass auch für die Ober,- und Untergrenzen Werte eingesetzt werden,

dass die Funktion einfach, egal wie groß der Begriff drinnen wird, gegen null laufen wird.

Bei der Aufgabe b) würde ich denselben Ansatz verfolgen. Kann mir nur vorstellen dass da Mathematisch nach mehr Informationen und Rechenwegen gefragt ist.

Ich freue mich über eure Hilfe.

Beste Grüße,

Fvaltrock

Answer 1

Da kannst du L'Hospital-Regel anwenden.

(a)

$$\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\int \limits_{0}^{x} \frac{1}{t+e^{-1}} d t}{x} \right) = \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\frac{1}{x+e^{-1}}}{1} \right)=0$$

(b) geht analog.

Comments

Aber l´Hospital wird doch nur zur Grenzwertberechnung verwendet falls ein unbestimmter Ausdruck entsteht.

Wir haben hier doch das Integral von 1 durch etwas. Wo ist das ein unbestimmter Ausdruck?

LG

fvaltrock

PS:

Also ich bin jetzt doch durch mein Skript etwas weitergekommen. Hier ist die Rede von der unbekannten Stammfunktion. Diese ergibt sich aus:

f(h(x))*h'(x)-f(g(x))*g'(x)

=> f(x)*1-f(0)*0

=> 1/(x+e^-1)

Bin also demnach auch auf deinen Ausdruck gekommen den du mir da hingeschrieben hast jedoch ergibt sich mir nicht, warum du das ganze noch einmal durch die 1 teilst.

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Wir haben hier im Grenzwert \(\frac{\infty}{\infty}\).

Ich antworte später nochmal genauer. Bin gerade busy.

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Ich sehe gerade, ich habe das 1/x außer Acht gelassen.

Dennoch ergibt sich mir nicht das inf/inf
Wir haben ja einen Bruch über unserem x. Wenn der gegen inf läuft dann wird das doch infinitimal klein und nicht gegen unendlich...

Haben doch: 1/x*1/t+e^-1
also = (1/t+e^-1)/x <=> 1/t+e^-1 * 1/x <=> 1/x*(t+e^-1)

danke dir für deine Zeit und Hilfe.

LG

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Du kannst natürlich Stammfunktionen berechnen und dann den Limes direkt berechnen.

Aber der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung macht es uns viel einfacher: \(\frac d{dx}\int_a^x f(t)\;dt = f(x)\) für auf [a,x] stetiges f.

L'Hospital kannst du anwenden, weil \(\lim_{x\to\infty} x = \infty\) und
(a) \( \int_0^x \frac{1}{t+e^{-1}} dt = \ln (x+e^{-1}) - 1 \stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow} \infty\)

(b) Der Integrand \(\frac{t+1}{t^{2}+2}\) verhält sich für \(t\to\infty\) wie \(\frac 1t\). Damit gilt \(\int_0^{\infty}\frac{t+1}{t^{2}+2} \; dt=\infty\).

Also in (a) und (b) haben wir es mit dem L'Hospital-Fall \(\frac{\infty}{\infty}\) zu tun.

Bei der Anwendung von L'Hospital musst du nun die Ableitung im Zähler und die Ableitung im Nenner bilden. Dabei gilt \(\frac d{dx}(x) = 1\). Daher kommt die 1.

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Vielleicht nochmal kurz zur Erinnerung:

Für \(t>0\) gilt \(\int \frac 1t\; dt = \ln t +C\) und \(\lim_{t\to\infty}\ln t = \infty\).

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Das ist jetzt das Ergebniss wie ich es berechnet habe. Den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung habe ich auch gesehen jedoch weiß ich nicht inwiefern mich der Ansatz mit der Stetigkeit weiterbringen soll.

mit dem inf/inf meine ich jetzt verstanden zu haben. Denke auch, dass die a) soweit in Ordnung ist. Bei der b) jedoch ist es irgendwie komisch, da ich hier ja wieder auf ein inf / inf stoße.

Habe dann erneut l'Hospital angewendet, habe aber das Gefühl, dass das Falsch ist...