Direkte Summenzerlegung von Vektorraum

Question

Hallo, ich habe Probleme mit der folgenden Aufgabe:

Zeigen Sie, dass M_n(C) als reeller Vektorraum eine direkte Summenzerlegung als
U ⊕ W mit

U = {A ∈ Mn(C) | A = (A komplex konjugiert)^T} und

W = {A ∈ Mn(C) | A = −(A komplex konj.)^T} hat.

Ich denke, dass ich für die Lösung ja die lineare Hülle von den beiden Summanden brauche, also Span(U) und Span(V).

Aber ich weiß nicht wirklich, wie ich die herausfinde.

Wenn ich das habe, gilt ja U+V = Span(UuV), dann müsste ich doch nurnoch zeigen, dass Span(UuV) = M_n(C), oder?

Comments

U und W sind schon Unterräume, also ist U = span(U)...

Answer 1

Sei X∈M_n(ℂ).

Wähle \(  A=\frac{1}{2}(X+\overline{X}^T)\) und \(  B=\frac{1}{2}(X-\overline{X}^T)\)

Dann ist X = A+B und es ist A∈U und B∈W, also X ∈ U+W.

Und die Summe ist direkt, weil U∩W={0}.