Zeigen Sie, dass (an)n {N} in (0, unendlich) beschränkt ist.

Question

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

ich habe jetzt als Lösung geschrieben,

dass (an) nach unten beschränkt ist, da

Text erkannt:

Es existiert ein \( M<a n \) für alle \( (a n) n \in \mathbb{N}, M=0<a 1<a n+1) \)

Text erkannt:

Es existiert ein \( M>a n \) für alle \( (a n) n \in \mathbb{N}, M=0<a 1<a n+1) \)

Dass es nach oben beschränkt habe ich so gezeigt:

Text erkannt:

Es existiert ein \( M 1>a n \) für alle \( (a n) n \in \mathbb{N}, a 1<a n+1<M 1 \), mit \( M 1=12+a n \Longrightarrow 1<\sqrt{12+a n}<12+a n \)

Meine Frage ist, ob dies zulässig ist, trotz dessen, dass M1 nicht fest gewählt ist.

Vielen Dank.

Answer 1

Du musst zeigen, dass es eine von \(a_n\) unabhängige Konstante K gibt, so dass \(a_n \leq K\) für alle n.

Schau mal die Wurzel an. Was wäre denn nach 12 nach oben die nächste Quadratzahl? 16.

Also kannst du probieren:

\(a_n < 4 \Rightarrow a_{n+1} = \sqrt{12+a_n} < \sqrt{12+4} =4\).

Da \(a_1 = 1 < 4\), sind also alle Folgenglieder kleiner als 4.

Comments

Vielen lieben Dank!