Eine einfache binomische Formel zur Erzeugung aller pythagoräischen Tripel

Question

Der Satz des Pythagoras ist $$a^2+b^2=c^2$$Und dies ist der erste Shalan-Satz, eine einfache binomische Formel, mit der sich alle (sic!) pythagoräischen Tripel darstellen lassen und in dessen Gefolge auch alle kongruenten Zahlen:$$\left(\frac{d(m^2-1)}{2}\right)^2 + d^2m^2 = \left(\frac{d(m^2+1)}{2}\right)^2\\\begin{aligned}\text{mit}\space a&=d(m² - 1)/2 \\ b &= dm \\ c&=d(m² + 1)/2 \\ d &= c - a\\\end{aligned}$$$m$ und $d$ sind entweder beide natürliche Zahlen oder $d/2$ und $dm^2/2$ sind natürlich.

Um alle kongruenten Zahlen zu erzeugen und nicht nur die, die zu pythagoräischen Tripeln gehören, muss der Definitionsbereich erweitert werden; $m$ und $d$ können auch rationale Zahlen sein. Herleitung$$b^2 = 2ad + d^2 = d^2\left(\frac{2a}{d} + 1\right)$$Das Ausklammern ist der entscheidende Trick$$\begin{aligned}m^2 &= \frac{2a}{d} + 1 &&|\,-1,\space \cdot \frac{d}{2}\\ \frac{d(m^2 - 1)}{2} &= a\end{aligned}$$Beispiele$$d = 18,\quad m = \frac{4}{3}\to \quad 7^2 + 24^2 = 25^2$$primitives Tripel. Wenn $m + d$ gerade ist, gibt es sogar zwei Lösungen.$$d = 7, \quad m = 3\to\quad 28^2 + 21^2 = 35^2 \\ d = 3,\quad m = 7\to\quad 72^2 + 21^2 = 75^2$$Kongruente Zahlen entsprechen der Dreiecksfläche $ab/2$. Sie werden über $$\frac{d(m^2 - 1)}{2} \cdot \frac{dm}{2} = d^2\frac{m^3 - m}{4}$$ gebildet.

Die Erstveröffentlichung erfolgte auf Twitter (twitter@PaulA_Projekt). Bei Wikipedia wollte man das nicht akzeptieren, da der Twitter-Account nur eine Sekundärquelle sei. Es müsse noch eine Primärquelle angegeben werden. Die ist das Paul Arnheim-Projekt, ein Autorenkollektiv. Aber das gilt nicht. Von Wikipedia kam die Aufforderung, die Sache zuerst in einer Fachzeitschrift zu veröffentlichen, bevor sie in das Online-Lexikon eingepflegt werden kann.

Jetzt die Frage: Können Sie eine geeignete Zeitschrift empfehlen?

Original war:

Der Satz des Pythagoras ist a² + b² = c²Und dies ist der erste Shalan-Satz, eine einfache binomische Formel, mit der sich alle (sic!) pythagoräischen Tripel darstellen lassen und in dessen Gefolge auch alle kongruenten Zahlen:(d(m² - 1)/2)² + d²m² = (d(m² + 1)/2)²mit d(m² - 1)/2 als a, dm als b und d(m² + 1) als c und d als c - am und d sind entweder beide natürliche Zahlen oder d/2 und dm²/2 sind natürlich.Um alle kongruenten Zahlen zu erzeugen und nicht nur die, die zu pythagoräischen Tripeln gehören, muss der Definitionsbereich erweitert werden; m und d können auch rationale Zahlen sein.Herleitungb² = 2ad + d² = d²(2ad + 1) Das Ausklammern ist der entscheidende Trickm²= 2ad + 1 *d, :2, -1d(m² - 1)/2 = aBeispieled = 18, m = 4/37² + 24² = 25² primitives TripelWenn m + d gerade ist, gibt es sogar zwei Lösungen.d = 7, m = 328² + 21² = 35²d = 3, m = 772² + 21² = 75²Kongruente Zahlen entsprechen der Dreiecksfläche ab/2. Sie werden über (d(m² - 1)/2)(dm)/2 = d²(mexp3 - m)/4 gebildet.

Comments

Ich verstehe die Aussage nicht!
Was ist ein Shalan-Satz ?

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(d(m² - 1)/2)² + d²m² = (d(m² + 1)/2)² ist der erste Shalan-Satz. Er dient der Erzeugung pythagoräischer Tripel.

Hier ersetzt d(m² - 1)/2 das a, dm ist b und d(m² + 1) ersetzt c, denn d ist gleich c minus a.

Dabei sind d und m entweder beide natürliche Zahlen oder d/2 und dm²/2 sind natürlich. Herleitung:

b² = 2ad + d² = d²(2ad + 1) Das Ausklammern ist der entscheidende Trick.

m² = 2ad + 1 Diese Gleichung wird auf beiden Seiten mit d multipliziert, d wird auf die linke Seite gebracht und schließlich wird durch zwei geteilt.

So erhält man a gleich d(m² - 1)/2.

Beispiele d = 18, m = 4/3

 => 7² + 24² = 25² Das ist ein primitives Tripel.

Wenn m + d gerade ist, gibt es sogar zwei Lösungen.

d = 7, m = 3 => 28² + 21² = 35²

d = 3, m = 7 => 72² + 21² = 75²

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 2ad + d² = d²(2ad + 1) 

2ad + d² = 2ad³+d²

ad =ad³

Für a≠0 folgt d=d³ bzw. d=0 oder d=±1.

Der Sinn erschließt sich mir nicht.

Außerdem ist die Nicht-Formatierung eine Zumutung.

Ein mathematisch orientiertes Autoren-Kollektiv sollte in der Lage sein, ernst gemeinte Artikel mit LaTeX zu formatieren.

PS:

Ich habe mir gerade das handschriftliche Original auf Twitter angesehen, das mindestens einen Fehler enthält. Mit dem "Shalan-Satz" scheint sich der Autor vermutlich selbst ein Denkmal setzen zu wollen.

Seriöse Mathematik sieht anders aus.

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Ein mathematisch orientiertes Autoren-Kollektiv sollte in der Lage sein, ernst gemeinte Artikel mit LaTeX zu formatieren.

Das sehe ich auch so !

Was soll an Folgendem besonders sein:

$(m^2+1)^2-(m^2-1)^2=$

$=[(m^2+1)+(m^2-1)]\cdot[(m^2+1)-(m^2-1)]=$

$=2m^2\cdot 2=4m^2$

Ich halte das eher für simpel.

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Welche zentralen Aussagen werden denn in dieser Arbeit bewiesen?
Ich verstehe den Sinn des Ganzen nicht.

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Korrektur

b² = 2ad + d²

= d²(2a/d + 1)  Flüchtigkeitsfehler nach dem Ausklammern, " / " nicht dazugeschrieben: Das d steht im Nenner. Wenn man dann die Gleichung mit d multipliziert, erhält man

dm² = 2a + 1 und daraus a = (dm² - 1)/2. b ist gleich dm, c gleich a + d gleich (dm² + 1)/2. Wenn man sich für ein Produkt dm entschieden hat, braucht man nur noch die jeweiligen a zu ermitteln und kann die dritte Zahl der Tripel ohne weitere komplizierte Rechnung bekommen, indem man a und d addiert.

Für n gleich drei kann man noch eine binomische Formel aufstellen. a wird zu

(d/2 $\sqrt{(4mexp3 - 1)/3}$ - 1), b ist wieder dm, c kann auch

(d/2 $\sqrt{(4mexp3 - 1)/3}$ + 1) sein, was gleichbedeutend mit a + d ist.

Für n > 3 wird die Formel redundant. Das a lässt sich dann nicht mehr herausrechnen.

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Was soll denn $4mexp3$ bedeuten?

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... und in dessen Gefolge auch alle kongruenten Zahlen

D.h. Du behauptest, dass damit alle kongruenten Zahlen erzeugt werden können - oder?

Die kleinste kongruente Zahl ist die $5$. Welche Zahlen muss man für $d$ und $m$ wählen, um auf die $5$ zu kommen?$$5=d^2\frac{m^3 - m}{4} \quad\quad \frac{d}{2}, \space \frac{dm^2}{2} \in \mathbb{N}, \quad m \in\mathbb{Q}$$Aus den beiden Bedingungen, dass$$5 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \left(m^3-m\right) \quad\land\quad \frac{d}{2} \in\mathbb{N}$$folgt, dass $(d/2)^2$ enweder $1$ oder $5$ sein muss, da dies die einzigen Teiler von $5$ sind. Die $5$ ist aber keine Quadratzahl und scheidet damit als Teiler aus. Daraus folgt$$\frac{d}{2}= 1 \implies d=2$$das führt dann zur Gleichung$$5=m^3-m$$und hier existiert aber keine rationale Lösung für $m$.

Damit ist bewiesen, dass die kongruente Zahl $5$ nicht aus Deinem 'Shalan-Satz' gebildet werden kann. Also ist auch die Behauptung ...

Und dies ist der erste Shalan-Satz, eine einfache binomische Formel, mit der sich alle (sic!) pythagoräischen Tripel darstellen lassen und in dessen Gefolge auch alle kongruenten Zahlen

- erwiesen durch ein Gegenbeispiel -  falsch!

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Es funktionioniert mit k = 5 mit a = 20/3, b = 3/2 und c = 41/6, denn dann ist d (a + d = c) gleich (41 - 40)/6 (d² = 1/36) und m folglich gleich neun 9.

a wird zu (81 - 1)/12 = 40/6 und c zu (40 + 1)/6

Rechnet man mit d²(mexp3 - m)/4, erhält man(729 - 9)/144 = 5

Den Ausdruck erhält man, wenn man das Produkt aus a ( = d(m² - 1)/2) und b (= dm) halbiert.

Auch mit vielen andere Zahlen, die so getestet wurden, klappt es. Pythagoräische Tripel lassen sich zumindest sehr einfach mit dem ersten Shalansatz finden; je mehr, desto mehr Teiler b hat.

Und man muss c nicht mühsam ausrechnen, sondern nur a, und muss dafür als größte Rechenleisung nur m quadrieren. Bei den kongruenten Zahlen muss man sich nur ein bisschen mehr Mühe geben.

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Du schriebst:

$m$ und $d$ sind entweder beide natürliche Zahlen oder $d/2$ und $dm^2/2$ sind natürlich.

Weiter schriebst Du

... denn dann ist d (a + d = c) gleich (41 - 40)/6 (d² = 1/36) und m folglich gleich neun 9.

dann ist $d=\frac{1}{6}$ und nicht natürlich.

Also erfüllen die für $k=5$ gewählten Werte für $a$ bis $d$ nicht die von Dir selbst gestellten Voraussetzungen.

Es funktionioniert mit k = 5 mit a = 20/3, b = 3/2 und c = 41/6, denn dann ist d (a + d = c) gleich (41 - 40)/6 (d² = 1/36) und m folglich gleich neun 9.

beschreibe doch bitte den Algorithmus, wie Du von $k=5$ auf $a$, $b$ und $c$ kommst.

Auch mit vielen andere Zahlen, die so getestet wurden, klappt es.

Aber mit welchen genau? Genau das ist doch das Problem!

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Ok - seien $d$ und $m$ rationale Zahlen. Das Problem ist doch: welche rationale Zahlen $d$ und $m$ führen zu einer kongruenten Zahl $k$ - so wie oben von Dir versprochen?

Ich habe inzwischen selber einen Algorithmus gefunden. Man benötigt dafür lediglich das Wissen wie es in den beiden Wikipedia-Artiel über konkrente Zahlen und pythagoreische Tripel beschrieben ist und ein wenig Schulmathematik. Es ist also nichts neues!

Die ersten Paare sehen so aus:$$\begin{array}{cc|r}d& m& k\\\hline 2 &2 &6\\ 8 &3/2 &30\\ 1 &4 &15\\ 9 &4/3 &21\\ 8 &5/2 &210\\ 16/3 &5/4 &5\\ 2 &6 &210\\ 50 &6/5 &330\\ 8/3 &7/2 &70\\ 16 &7/4 &231\\ 72 &7/6 &546\\ 1/3 &8 &14\\ 9 &8/3 &330\\ 25 &8/5 &390\\ 49 &8/7 &210\\ 8/3 &9/2 &154\\ 16/3 &9/4 &65\\ 64/3 &9/8 &34\\ \end{array}$$an 6.Stelle taucht dann auch die gesuchte Zahl $k=5$ auf. Dieser Algorithmus spuckt alle konkruenten Zahlen aus!

Ein Wermutstropfen: Es wird zuerst $m$ und $k$ berechnet und dann daraus und aus einigen Zwischenergebnissen wird $d$ bestimmt. Deine Formel oben ist also keine Hilfe, sondern wird nur im 'Nachgang' aufgerufen.

Hast Du etwas besseres?

Answer 1

Es ist ein alter Hut, dass man bei Vorgabe zweier beliebiger natürlicher Zahlen u und v mit

(u²-v²), 2uv und (u²+v²) ein pythagoräisches Zahlentripel hat, denn (u²-v²)² +( 2uv)²=  (u²+v²)².

Die vorliegende unnötig verschwurbelte Version des bekannten Verfahrens wird keine Fachzeitschrift veröffentlichen.

Comments

Neu ist, dass der Definitionsbereich erweitert wurde. m muss nämlich nicht mehr natürlich sein. Und d ist einfach nur die Differenz von a und c. Das ist viel einfacher, als beliebige natürliche Zahlen mehrfach zu quadrieren. Mit dem ersten Shalan-Satz erhält man alle primitiven Tripel.

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Davon abgesehen, dass es für den alten Hut zweier überdies zu quadrierender natürlicher Zahlen bedarf, verführt Ihre Wortwahl -"unnötig verschwurbelte Version"- für eine simple Formel, in der nur ein Term nur einmal quadriert werden muss und die damit alles andere als verschwurbelt ist, zu dem Schluss, dass Sie zu Ihrer Antwort mehr von Neid denn von Fachkompetenz inspiriert wurden.

Die mathebegeisterten Fachleute und Laien bei Twitter sind wesentlich höflicher. Von denen hat übrigens niemand den ersten Shalan-Satz für einen alten Hut gehalten, und genau das war der Grund dafür, die Frage zu stellen.

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Es geht doch eigentlich nur um die rationale Lösungsmenge

$\{(x,y): x^2-y^2=1\}$, also die rationalen Nullstellen

der universellen quadratischen Form $x^2-y^2-z^2$

und die dazu gehörige Theorie ist ein alter,

sehr gut erforschter "Hut".

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Ich empfehle, für die Publikation das "Journal of the American Mathematical Society" zu berücksichtigen. Oder alternativ die "Annals of Mathematics".

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Ich empfehle, für die Publikation das "Journal of the American Mathematical Society" zu berücksichtigen. Oder alternativ die "Annals of Mathematics".

Ich halte es für keine ruhmreiche Idee, den Fragesteller so zu einer Blamage zu verleiten.

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Neu ist, dass der Definitionsbereich erweitert wurde.

Was verstehst du unter Definitionsbereich?

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u und v sind natürliche Zahlen. m und d können natürliche Zahlen sein. m kann aber auch ein unechter Bruch sein wie etwa 3/2 oder 4/3. Es müssen dann dm²/2 und d/2 natürlich sein wie im Beispiel mit d = 18 und m = 4/3.

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Ich sage es nochmal: eure "Erkenntnisse" sind nicht neu:

Für rationales $x$ gilt - wie man mühelos nachrechnet -

$(x^2-1)^2+4x^2=(x^2+1)^2\quad (*)$.

Ist nun $x=m/n$ mit nat. $m,n$ und $n\neq 0$, dann ist dies

äquivalent zu

$((m^2-n^2)/2)^2+(mn)^2=((m^2+n^2)/2)^2$. Multipliziert man $(*)$

mit $d^2/4$, so erhält man

$(d(x^2-1)/2)^2+(dx)^2=(d(x^2+1)/2)^2$.

Dies gilt für alle rationalen Zahlen.

Worin besteht nun eure "neue Erkenntnis" ?

Answer 2

Ihr könnt ja versuchen, euren Artikel bei
https://arxiv.org/ unterzubringen.
ihr solltet aber damit rechnen, dass ihr starken
Gegenwind bekommt, da eure "Ergebnisse"
mathematisch weder neu noch interessant sind.