Question

Bestimme den Konvergenzradius r der folgenden Potenzreihen:

a)\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n^n} x^n} \)

b) \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{n2^n}{(1+n^2)^2} x^n} \)

Ansatz: a) bin bis \( \frac{n+1}{n^n} \) gekommen, weiter weiß ich nicht

b) hier weiß ich nicht weiter

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Bei Teilaufgabe a) empfehle ich die Formel von Cauchy-Hadamard:$$r_a=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{n^n}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\frac1n}=\lim\limits_{n\to\infty}(n)=\infty$$

Bei Teilaufgabe b) betrachten wir zuerst den Quotienten$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\frac{n2^n}{(1+n^2)^2}}{\frac{(n+1)2^{n+1}}{(1+(n+1)^2)^2}}=\frac{(n+1)2^{n+1}}{(1+(n+1)^2)^2}\cdot\frac{(1+n^2)^2}{n2^n}=\frac{(n+1)2^{n+1}}{n2^n}\cdot\frac{(1+n^2)^2}{(1+(n+1)^2)^2}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2^{n+1}}{2^n}\cdot\left(\frac{1+n^2}{1+(n+1)^2}\right)^2=\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2^n\cdot2}{2^n}\cdot\left(\frac{\frac{1}{n^2}+1}{\frac{1}{n^2}+\left(\frac{n+1}{n}\right)^2}\right)^2$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\left(1+\frac1n\right)\cdot2\cdot\left(\frac{\frac{1}{n^2}+1}{\frac{1}{n^2}+\left(1+\frac1n\right)^2}\right)^2$$und bilden anschließend den Grenzwert für \(n\to\infty\):$$r_b=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\left(1+0\right)\cdot2\cdot\left(\frac{0+1}{0+(1+0)^2}\right)^2=2$$