Aloha :)
Die Eigenwertgleichung lautet ja:\(\quad \mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\)
Darin ist \(\mathbf A\) eine qudartische Matrix, \(\vec x\ne\vec 0\) ist ein Eigenvektor und \(\lambda\) ist ein Eigenwert.
Um die Eigenwerte von \(\mathbf A\) zu finden, nehmen wir die Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) zu Hilfe, die genauso groß ist wie \(\mathbf A\) und nutzen aus, dass \(\mathbf 1\cdot\vec x=\vec x\) ist:$$\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\mathbf1\cdot\vec x\implies\mathbf A\cdot\vec x-\lambda\cdot\mathbf 1\cdot\vec x=\vec 0\implies\pink{\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1\right)\cdot\vec x=\vec 0}$$Die Formel in \(\pink{\text{pink}}\) ist ein Gleichungssystem. Wir sind an Lösungen bzw. Eigenvektoren \(\vec x\) interessiert, die ungleich \(\vec 0\) sein müssen. Solche Lösungen gibt es nur, wenn die Determinante der Matrix \(\pink{(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1)}\) gleich Null ist.
Zur Berechnung der Eigenwerte \(\lambda\) subtrahieren wir daher auf der Hauptdiagonalen der Matrix \(\mathbf A\) die noch unbekannte Variable \(\lambda\), setzen die Determinante der entstandenen Matrix gleich \(0\) und lösen die Gleichung nach \(\lambda\) auf:
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{ccc}\green{-1-\lambda} & -6 & 3\\0 & -1 -\lambda & 0\\\red3 & -6 & -1-\lambda\end{array}\right|=\green{(-1-\lambda)}\begin{vmatrix}-1-\lambda & 0\\-6 & -1-\lambda\end{vmatrix}+\red3\begin{vmatrix}-6 & 3\\-1-\lambda & 0\end{vmatrix}$$$$\phantom0=\green{-(1+\lambda)}\cdot(-1-\lambda)^2+\red3\cdot(1+\lambda)\cdot3=-(1+\lambda)(1+\lambda)^2+9(1+\lambda)$$$$\phantom0=-(1+\lambda)\cdot[(1+\lambda)^2-9]=-(1+\lambda)\cdot[\lambda^2+2\lambda-8]=-(1+\lambda)(\lambda+4)(\lambda-2)$$
Daraus kannst du die Nullstellen bzw. die Eigenwerte ablesen:$$\lambda_1=-4\;;\;\lambda_2=-1\;;\;\lambda_3=2$$
Die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen von \(\mathbf A\) muss übrigens gleich der Summe der Eigenwerte sein. Das kannst du für eine einfache Probe des Ergebnisses nutzen.
