multilinear und alternierend

Question

Text erkannt:

Seien \( K \) ein Körper und \( n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \). Die Spur (englisch trace) einer quadratischen Matrix \( \left(a_{i j}\right)_{i, j} \in M_{n}(K) \) ist definiert durch \( \operatorname{tr}(A):=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n} \). Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen \( M_{n}(K) \times M_{n}(K) \rightarrow K \) multilinear und welche alternierend sind:
(i) \( (A, B) \mapsto \operatorname{tr}(A) \)
(ii) \( (A, B) \mapsto \operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B) \).
(iii) \( (A, B) \mapsto \operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B) \).
(iv) \( (A, B) \mapsto \operatorname{tr}(A B) \).
(v) \( (A, B) \mapsto \operatorname{tr}(A B-B A) \).
(vi) \( (A, B) \mapsto \operatorname{tr}(A) \operatorname{tr}(B)-\operatorname{tr}(B A) \).

Answer 1

"Das rechnet man leicht nach". Du kannst die Spur auch als Summe schreiben. Dann kann man herleiten, dass tr(A+B) = tr(A) + tr(B) schreiben bzw. tr(∂A + µÁ) = ∂tr(A) + µtr(Á).

Das muss man dann einfach einsetzen in die Gleichungen. Alle Teilaufgaben funktionieren nach dem gleichen System.

Comments

danke schonmal, aber für mich ist das problem eher wie ih herausfinde bzw beweise ob es multilinear bzw alternierend ist

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Einfach lambda A + my A‘ in die Funktion einsetzen und dann das Ergebnis unterheben (das soll dann so aussehen wie im Skript für LinAlg)

Für alternierend musst du nur zweimal A einsetzten

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willst du mir das vielleicht mal beim ersten beispiel mal vorrechnen, dass ich was handfestes zum verstehen habe?

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Text erkannt:

(ii) \( (A, B) \mapsto b(A) \cdot i s(B) \)
* Mulhlinearitater?
\( \begin{array}{l} \left(\lambda A+\mu A^{\prime}, B\right) \mapsto L\left(\lambda A+\mu A^{\prime}\right) \cdot L(B) \\ L_{S}\left(\lambda A+\mu A^{\prime}\right) \cdot L(B)=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda a_{i i}+\mu \tilde{a}_{i i}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} b_{i i}\right)= \\ =\left(\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda a_{i i}+\sum \limits_{i=1}^{n} \mu a_{i i}^{\prime}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} b_{i i}\right)= \\ =\left(\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i i}+\mu \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i i}^{\prime}\right) \cdot\left(\sum \limits_{i=1}^{n} b_{i i}\right)= \\ =\left(\lambda L J(A)+\mu L_{\sigma}\left(A^{\prime}\right)\right) \cdot \sigma(B)= \\ =\lambda L_{5}(A) \cdot L_{5}(B)+\mu L_{r}\left(A^{\prime}\right) \cdot L_{r}(B)= \\ =\lambda\left(L_{S}(A) \cdot L_{S}(B)\right)+\mu\left(L r\left(A^{\prime}\right) \cdot L v(B)\right) \\ \left(A_{1} \lambda B+\mu B\right) \mapsto L_{\checkmark}(A) \cdot b\left(\lambda B+\mu B^{\prime}\right) \\ L v(A) \cdot L v(\lambda B+\mu B)=\lambda(L(A) \cdot L(B))+\mu\left(L(A) \cdot \operatorname{Lr}\left(B^{\prime}\right)\right) \\ \end{array} \)
* Allervierud? X
\( \begin{array}{l} (A, A) \mapsto \operatorname{Lr}(A) \cdot \operatorname{Ir}(A) \\ \operatorname{Ir}(A) \cdot \operatorname{Iv}(A)=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i i}\right)\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i i}\right) \neq 0 \quad\left(\operatorname{fr} a_{M}=\ldots=a_{n n} \neq 0\right) \end{array} \)

Sorry, ich hab deine Antwort gestern nicht mehr gelesen. Das wäre jz die (ii). Bei der (i) muss man nicht viel rechnen.