Berechnen des Gesamtvolumens aller drei Wasserbecken. (Integralrechnung)

Question

Gegeben sind die beiden reellen Funktionen:

f und g
f(x)=1/4x^4-5/2x²+9/4 und g(x)=-1/4x^4+5/2x²


Ein Architekt plant für eine Gartenanlage den Bau von drei Wasserbecken, die vollständig von den Graphen der Funktion f und g eingeschlossen wird. Die Tiefe der Becken beträgt 1,20 Meter.

Berechnen Sie das Gesamtvolumen aller drei Wasserbecken.


Wenn jemand die Aufgabe löst, brauch ich den Lösungsweg, um es auch verstehen zu können.

Liebe grüße Lisa ;)

Answer 1

Hallo Lisa,

  die beiden Funktionen schneiden sich an 4 Stellen (
symmetrisch, siehe Schnittpunkte ). Daraus resultieren 3
Flächen. Am besten du fertigst einmal eine Skizze an.

Zuerst werden die x-Werte der Schnittpunkte berechnet.
Dann wird die Abstandsfunktion zwischen den Funktionen
gebildet und dann die Abstandsfunktion integriert ( Stamm-
funktion gebildet ).
Durch Einsetzen der x-Werte der Schnittpunkte als Integrations-
grenzen läßt sich die Fläche berechnen. Eine Fläche kommt 2 mal
vor.
Als Fläche habe ich 32.18 m^2 erhalten. Dies ist noch mit
1.20 m Tiefe zu multiplizieren. Das ergibt ein Volumen von
38.616 m^3 .
Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 2

f(x) = 1/4·x^4 - 5/2·x^2 + 9/4

g(x) = - 1/4·x^4 + 5/2·x^2

 

Differenzfunktion und deren Stammfunktion bilden

d(x) = f(x) - g(x) = (1/4·x^4 - 5/2·x^2 + 9/4) - (- 1/4·x^4 + 5/2·x^2) = x^4/2 - 5·x^2 + 9/4

D(x) = x^5/10 - 5·x^3/3 + 9·x/4

 

Schnittpunkte der Graphen bzw. Nullstellen der Differenzfunktion d(x) = 0

x^4/2 - 5·x^2 + 9/4 = 0

 

Substitution z = x^2

z^2/2 - 5·z + 9/4 = 0 

 

Mit pq-Formel lösen

z = 5 ± √82/2

 

Resubstitution

x = + √(5 + √82/2) = 3.087
x = - √(5 + √82/2) = -3.087
x = + √(5 - √82/2) = 0.6872
x = - √(5 - √82/2) = -0.6872

 

Flächenbestimmung

D(-0.6872) - D(-3.087) = -15.07
D(0.6872) - D(-0.6872) = 2.041
D(3.087) - D(0.6872) = -15.07

 

Ich nehme an 1 FE = 1 m^2

A = 2 * 15.07 + 2.041 = 32.18 m^2

V = 32.18 * 1.2 = 38.62 m^3

Comments

Skizze:

Ziemlich hässlich für einen Teich.