Zeigen Sie, dass dann a, b ∈ ℝ existieren mit a 0 für alle x ∈ (a, b)

Question

Hallo zusammen, hätte hier eine Aufgabe..

Sei f : ℝ → ℝ stetig und f(x₀) > 0 in einem Punkt x₀ ∈ ℝ.

Zeigen Sie, dass dann a, b ∈ ℝ existieren mit a < x₀ < b, so dass f(x) > 0 für alle x ∈ (a, b)

Grüße:)

Answer 1

Hier ist die \(\epsilon-\delta\)-Definition der Stetigkeit hilfreich.

Zu \(\epsilon_0 = \frac {f(x_0)}2\) gibt es ein \(\delta_0>0\), so dass gilt

\(x_0-\delta_0 < x < x_0+\delta_0= \Rightarrow f(x_0)-\epsilon_0 < f(x) < f(x_0)-\epsilon_0\)

Nun gilt aber

\(f(x_0)-\epsilon_0 = \frac {f(x_0)}2 > 0\).

Setzt also \(a= x_0-\delta_0\) und \(b= x_0+\delta_0\), dann gilt

\(0< \frac {f(x_0)}2 < f(x)\) für alle \(x\in (a,b)\).