Betragsgleichung lösen/ bestimmen, Definitionsmenge bestimmen

Question

Hallo!

Aufgabe: Löse die folgenden Gleichungen. Bestimme jeweils die Definitionsmengen.

c) \( |3 x-2|+2=x^{2} \)

ANSATZ:
\( \frac{|3 x-2|=x^{2}-2}{\frac{2}{3}} \)
1.Fall: \( x<\frac{2}{3} \)

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir bitte erklären, wie ich hier vorgehen muss? Ich habe viele Wege probiert, aber ich schaffe es nicht auf die richtige Lösung zu kommen.

Answer 1

\( |3 x-2|+2=x^{2} \)

1.Fall: \( x<\frac{2}{3} \) ist ne gute Idee. Denn bei \( x < \frac{2}{3} \) steht ja im

Betrag was negatives, also wird das zu -(3x-2) , also hast du

      -(3x-2) + 2 = x^2

<=>   0 = x^2 + 3x - 4

<=>  x=-4 oder x=1

Wegen \( x<\frac{2}{3} \) ist nur -4 eine Lösung.

2.Fall: \( x \ge \frac{2}{3} \) 

              3x-2 + 2 = x^2
<=>  0 = x^2 - 3x
<=>  x=0 oder x=3

Hier also nur 3 eine Lösung.

Lösungsmenge L={3;-4}.

Siehst du auch grafisch ~plot~ abs(3 x-2)+2;x^2 ~plot~

Comments

1000 Dank mathef!!

Also ich hab das erneut nachgerechnet, der Rechenweg ist derselbe, nur habe ich bei Fall 1 noch eine Fallunterscheidung gemacht, das hast du ja auch getan, aber ich hab das zusätzlich noch hingeschrieben. Also passt das auch so?

\( |3 x-2|+2=x^{2} \)
1. \( Fall: x<\frac{2}{3} \)
\( |3 x-2|=-(3 x-2) \)
\( -(3 x-2)+2=x^{2} \Longleftrightarrow-3 x+2+2=x^{2} \)
\( \Leftrightarrow-3 x+4-x^{2} \Leftrightarrow 3 x+x^{2}-4=0 \)
\( x^{2}+3 x-4=0 \)
\( \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}-\frac{16}{4}=0 \)
\( \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4} \mid \square \)
\( x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} \)
1. \( \mathrm{Fall} \quad x+\frac{3}{2} \geqslant 0 \)
\( x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} \Leftrightarrow x=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1 \notin \)
2. Fall: \( x+\frac{3}{2}<0 \)
\( -\left(x+\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2} \)
\( x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2} \Longleftrightarrow x=-\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=-4 \)


2. \( Fall: x \geqslant \frac{2}{3} \)
\( <\frac{2}{3} \)
\( 3 x-2+2=x^{2} \Longleftrightarrow 3 x-x^{2}=0 | \cdot(-1) \)
\( x^{2}-3 x=0 \Leftrightarrow x \cdot(x-3)=0 \)
\( x=0 \quad x=3 \geqslant \frac{2}{3} \)
\( \mathbb{L}=\{3,-4\} \)

---

Na ist doch prima !

Answer 2

\( |3 x-2|+2=x^{2} \)

\( |3 x-2|=x^{2}-2|^{2} \)

\( (3 x-2)^2=(x^{2}-2)^{2} \)

\( (3 x-2)^2-(x^{2}-2)^{2}=0 \)

\( [(3 x-2)+(x^{2}-2)]*[(3 x-2)-(x^{2}-2)]=0 \)

1.)\((3 x-2)+(x^{2}-2)=0\)

\(x₁=-4∨x₂=1\)

2.)\( (3 x-2)-(x^{2}-2)=0\)

\(x₃=0∨x₄=3\)

Probe, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

\( |3 *(-4)-2|+2=(-4)^{2} \)    \( |-12-2|+2=16 \)    \( 14+2=16 \) ✓

\( |3 *1-2|+2=(1)^{2} \)   ist falsch

\( |3 *(0)-2|+2=(0)^{2} \)  ist falsch

\( |3 *3-2|+2=3^{2} \)✓

Lösungen somit \(-4 ∨ 3\)

Comments

Auch danke an dich moliets! Ich hab die Rechnung nun verstanden.