Wie bestimme ich die Konvergenz von folgenden Folgen

Question

Aufgabe: an= 

Text erkannt:

Aufgabe 1 (4 Punkte) Entscheiden Sie für die durch
\( a_{n}=\left(\frac{4 n+1}{4 n}\right)^{\frac{n}{2}}, \quad b_{n}=\left(1+\frac{6}{n}\right)^{\frac{n^{2}}{4}}, \)
gegebenen Folgen \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) \) jeweils, ob sie konvergent sind und bestimmen sie gegebenfalls den Grenzwert.

…

Problem/Ansatz:

Hallo, ich muss entscheiden ob die Folge konvergent ist und gegebenfalls einen Grenzwert bestimmen.

Ich denke, dass ich bei an auf auf die Eulerrische Zahl komme ....

Weiß aber nicht wirklich wie ich vorgehen soll

Answer 1

Aloha :)

Für die erste Folge erinnere dich an \(e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n\). Damit finden wir:$$a_n=\left(\frac{4n+1}{4n}\right)^{\frac n2}=\left(1+\frac{1}{4n}\right)^{\frac n2}=\left(1+\frac{\pink{\frac18}\cdot1}{\pink{\frac18}\cdot4n}\right)^{\frac n2}=\left(1+\frac{\frac18}{\frac n2}\right)^{\frac n2}\to e^{\frac18}=\sqrt[8]{e}$$

Für die zweite Folge erinnere dich an die Bernoulli-Ungleichung:$$(1+x)^r\ge 1+rx\quad;\quad r\ge1\;,\;x>-1$$Ab \(n\ge2\) ist \(\frac{n^2}{4}\ge1\), sodass wir sie ab \(n\ge2\) verwenden können:$$b_n=\left(1+\frac6n\right)^{\frac{n^2}{4}}\stackrel{(n\ge2)}\ge1+\frac{n^2}{4}\cdot\frac6n=1+\frac32n\to\infty$$

Answer 2

an = [(1+1/(4n))^n]^(1/2) -> lim = (e^(1/4))^(1/2) = e^(1/8)

bn = [(1+6/n)^n]^(n/4) -> lim = (e^6)^(n/4) = e^(6/4*n) = +oo

Comments

Bin ja noch relativ neu hier: Aber warum TEXt ihr nicht?
Finde das alles sehr schwer lesbar.

Oder ist hier "Punkte-zuerst-krieg-Wahn"?

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Das Ergebnis von ggt ist zwar richtig, siehe die Lösung von T. Die angedeutete Argumentation jedoch unzulänglich. Man farf nicht (ohne weiteres) in einem zusammengesetzten Term ein n gegen unendlich gehen lassen und das andere. Sonst wäre auch das richtig:

$$(1+6/n)^n \to 1^n\to 1$$