Berechne eine quadratische Funktion (Teil II. meiner vorherigen Aufgabe)

Question

Berechne eine quadratische Funktion (Teil II. meiner vorherigen Aufgabe)

Problem/Ansatz:

bekannt ist wieder die quadratische Funktion f(x) = 200x² - 2240x + 2022 !

Gesucht wird g(x), wobei das konstante Glied hier jetzt einen negativen Wert (ganze Zahl) haben soll.

Zur Berechnung berücksichtigt werden wieder die Stützstellen 1,2 und 2,1 und 2,3.

Das Intervall (1,2 ; 2,3) wird in 2 Teilintervalle geteilt, sodass insgesamt 3 Intervalle vorhanden sind. (1,2;2,1) (1,2 ; 2,3) sowie (1,2 ; 2,3).

1.) Herleitung über g(x)
alle 3 Stützstellen 1,2 und 2,1 und 2,3 werden an der noch zu suchenden quadratischen Funktion g(x) durch 3 Sekanten miteinander verbunden. Dann werden 3 parallele Sekanten gebildet, die durch die Stützstellen -2,3 ! und -2,1 ! und -1,2 ! und die Extremstelle ! verlaufen.

2.) Herleitung über f(x)

Wieder werden alle 3 Sekanten gebildet, diesesmal aber an die bereits bekannte quadratische Funktion f(x).

Die Intervallgrenzen werden vertauscht, sodass dann auch die Intervalle (-2,3 ; -2,1) (-2,3 ; -1,2) und (-2,1 ; -1,2) Berücksichtigung finden. Die 3 Sekanten werden parallel in diese anderen Intervalle verschoben, sodass 3 neue Geraden entstehen.

3.) Deutung

g(x) ist zuerst variabel, f(x) dagegen wegen der bereits bekannten Funktion f(x) und alle 3 dort berechneten Geraden sind eindeutig festgelegt, d.h. die Kurve von g(x) muss jetzt so verschoben werden, das alle berechneten Geraden in beiden Fällen identisch sind.

Dadurch entstehen als Abstände zwischen den insgesamt 3 * 2 Sekanten von g(x) 3 unterschiedliche Werte und die Addition aller 3 Werte/Abstände ergibt wiederum den (Gesamt)Abstand zwischen der bereits bekannten quadratischen Funktion f(x) und der berechneten quadratischen Funktion g(x).

Interessanterweise ergibt sich dadurch dann folgende Beziehung: Addition aller positiven Stützstellen 1,2 und 2,1 und 2,3 ergibt den Wert 5,6 und ist gleichzeitig die Extremstelle.

Ich hoffe, dass ich diese Aufgabe einigermaßen verständlich "rübergebracht" habe.

Vielen Dank im voraus für Eure Hilfe.

mit freundlichen Grüßen von der Weser

Martin

Gefragt 4 Jan 2023 von MJHWL60

Hallo lieber Werner-Salomon,

in diesem Teil geht es nur um 2 quadratische Funktionen. Wenn die gesuchte quadr. Funkt. dann gefunden ist, wird diese im nächsten Schritt wieder integriert, um dann später 2 KUBISCHE Funktionen zu erhalten. (die Erste kubische Funkt. wurde ja bereits im Teil I. berechnet)

Ja, a ist richtig.

(Ich hatte aber Bedenken/Angst, dass a dann mit a * x² ... verwechselt werden könnte, weil im kompletten Projekt 200x² - 2240x + 2022 ! ebenfalls erst berechnet wird !!! Ich habe diese Funktion nur deshalb als bekannt vorgegeben, weil ich ja mit der Erklärung irgendwo anfangen musste und wenn ich dann geschrieben hätte, dass ich eine Funktion von einer anderen Funktion berechne, die aber noch nicht vorliegt, wäre das noch verwirrender gewesen.)

Vorschau:

Im späteren III. Teil geht es dann u.a. um Flächenberechnung zwischen den dann gefundenen 2 kubischen Funktionen sowie einer weiteren kubischen Funktion dazwischen. (Gedanke von mir. Ich denke - weit hergeholt - irgenwie an "Ober- und Untersumme").

Entschuldige bitte vielmals.

Vielen Dank

Martin

Kommentiert 5 Jan 2023 von MJHWL60

Hallo Martin,

Ich hatte aber Bedenken/Angst, dass a dann mit a * x² ... verwechselt werden könnte, ...

guter Einwand - ich nenne das jetzt $v_y$ (alias vy) - für Verschiebung in Y-Richtung - und $g(x)$ ist dann$$g(x)=200x^2-2240x-v_y$$Es ist wichtig, dass wir uns einig sind über was wir hier reden(schreiben)!

Du schreibst:

alle 3 Stützstellen 1,2 und 2,1 und 2,3 werden an der noch zu suchenden quadratischen Funktion g(x) durch 3 Sekanten miteinander verbunden

Das habe ich hier gemacht. Die Sekanten sind schwarz eingezeichnet

(Abbildung 1)

$f(x)$ ist der rote Graph und $g(x)$ der grüne. Weiter schreibst Du

Dann werden 3 parallele Sekanten gebildet, die durch die Stützstellen -2,3 ! und -2,1 ! und -1,2 ! und die Extremstelle ! verlaufen.

Das sind drei weitere Sekanten, die durch vier(?) Punkte verlaufen sollen. Aber welche Sekante soll denn nun durch welchen der Punkte verlaufen? Jede der ursprünglichen Sekanten läüft immer durch zwei der drei Punkte ...

Gruß Werner

Kommentiert 5 Jan 2023 von Werner-Salomon

Hallo lieber Werner,

(ich hatte heute 2 Fahrten gemacht, darunter für eine gute Bekannte zum Arzt, weil sie kein Auto hat).

Schade, dass die 3 schwarzen Sekanten nicht so gut zu unterscheiden sind.

Bitte den roten Graphen vorerst nicht beachten, sondern nur den GRÜNEN Graphen.

vy ist leider vorerst falsch, aber das liegt ja wieder einmal an mir.

Die erste parallele Sekante ist (-2,3 ; Extremstelle 5,6)

Die zweite parallele Sekante ist (-2,1 ; Extremstelle 5,6)

Die dritte parallele Sekante ist (-1,2 ; Extremstelle 5,6)

Bitte überprüfen, dass diese 3 Sekanten parallel zu den SCHWARZEN (wie auch den blauen) verlaufen, dann die 3 Abstände zwischen den SCHWARZEN und den Parallelen berechnen, diese 3 Werte addieren und den erhaltenen Wert von 200x² - 2240x + 2022 subtrahieren. Dann müsste es passen.

Morgen dann die Kontrollrechnung mit Hilfe des anderen roten Graphen.

Vielen Dank.

Gute Nacht lieber Werner

Martin.

Kommentiert 5 Jan 2023 von MJHWL60

Hallo lieber Werner,

könnte man denn die 3 Sekanten besser ? und kürzer wie folgt beschreiben:

s123 (-2,3 Ι -2,1 Ι -1,2 ; 5,6) ? (sieht aber nicht übersichtlich aus)

1.) bei der Berechnung über die Addition der 3 Differenzen zwischen den parallelen Geraden müsste das Ergebnis schon sofort passen und man bräuchte keine weitere Berechnung mit dem anderen zweiten roten Graphen. Könnte man aber diese Addition denn grafisch (gut) zeichnen / darstellen (sodass diese Addition auch gut zu erkennen wäre) ? ODER besser:

2.) wir könnten aber theoretisch für die Suche nach der Lösung auch probieren z.B. mit 200x² - 2240x - 100.000.

Dann müsste man aber unter Berücksichtigung des parallel verlaufenden roten Graphen (bekannte Funktion 200x² - 2240x + 2022) eine weitere Berechnung * wie folgt durchführen und die beiden dann auf unterschiedliche Weise ermittelten Geraden = Sekanten wiederum (so wie im Teil I. bei den Tangenten) zusammenschieben.

* in einem Mathebuch hatte ich u.a. bei der Integration folgendes gelesen: Vertauschen der Intervallgrenzen ändert das Vorzeichen,

Im z.B. ersten Teilintervall 1,2 und 2,1 wäre das dann 2,1 und 1,2 sowie dann nach Vorzeichenänderung -2,1 und -1,2 Die Werte für f(x1) und f(x2) bleiben dabei bestehen und genau durch diese neuen gefundenen Punkte entsteht eine Gerade parallel zur Sekante des grünen Graphen. (Entsprechend auch für die anderen Intervalle).

Vorschau:

Herleitung der besonderen Beziehung x1+x2+x3 = Extremstelle SPÄTER in einer neuen Frage (aber VOR Teil III.) und der Einfachheithalber dann mit ganzen Zahlen im gleichen Abstand. (mir ist noch eine Idee für eine einfachere Beschreibung dafür gekommen.)

Nochmals vielen, vielen Dank

Martin

Kommentiert 6 Jan 2023 von MJHWL60

Hallo Martin,

wie die Sekanten verlaufen sollen habe ich jetzt verstanden. Dass sie dann paarweise parallel sind ist übrigens klar!

Zwei Sekanten einer Parabel sind genau dann parallel, wenn der Mittelwert der X-Koordinaten ihrer beiden Schnittpunkte mit der Parabel, jeweils identisch ist. Und dies ist hier genau deshalb immer erfüllt, weil $$s_4 = s_1+s_2+s_3$$Betrachte dazu die Sekante durch $s_1$ und $s_2$. Der Mittelwert $s_{m12}$ ist das arithmetische Mittel (der Durchschnitt)$$s_{m12} = \frac{1}{2}(s_1+s_2)$$Dazu parallel verläuft die Sekante durch $-s_3$ und $s_4$. Der Mittelwert ihrer Schnittpunkt-Koordinaten ist$$\phantom{=}\frac{1}{2}(-s_3+s_4)\\ =\frac{1}{2}\left(-s_3 + s_1+s_2+s_3\right) \\ =\frac{1}{2}\left(s_1 + s_2\right) \\=s_{m12}$$also derselbe Wert. Ich habe das auch zur Demonstration in Desmos gegossen:

(Abbildung 2)

Du siehst oben die drei Punkte $S_1$, $S_2$ und $S_3$ deren X-Koordinaten die drei Stützstellen $s_1$, $s_2$ und $s_3$ sind. $s_4$ ist die wieder die Summe der drei. Du kannst diese beliebig mit der Maus auf der blauen Parabel verschieben. Die rote und schwarze Sekante bleiben immer parallel. Die gemeinsame Mitte $s_{m12}$ der Koordinaten-Paare habe ich mit der gestrichelten Senkrechten markiert.

Das soll erstmal reichen; zu den anderen Themen melde ich mich noch.

Gruß Werner

Kommentiert 6 Jan 2023 von Werner-Salomon

Hallo lieber Werner-Salomon,

Es gibt noch Deine erste Zeichnung mit den 2 parallelen Kurven und die beiden anderen Zeichnungen müssen dort noch alle miteinander kombiniert werden.

letzte Zeichung

ja, Verschiebung in x-Richtung ist richtig. Die Zeichnung ist fast richtig. Es muss lediglich die rote Kurve durch die 2 Punkte auf der oberen blauen Linie verlaufen und die 10.000 muss raus (gehört zur mittleren Zeichnung, weil ja vy nur dort für diese andere Kurve berechnet werden soll und 10.000 nur ein vorerst angenommener Wert ist. )

mittlere Zeichnung

Die Zeichnung ist richtig. Hierfür soll vy berechnet werden, aber weiter braucht HIER nichts verschoben werden, * WEIL:

Wir haben jetzt insgesamt 4 parallele Geraden mit 2 unterschiedlichen Herleitungen gefunden. (2 Geraden in der letzten Zeichung und 2 Geraden in der mittleren Zeichnung.)

Diese Verschiebungen in jeder Zeichnung werden nur zur Ermittlung der Lage innerhalb benötigt und NICHT für die Berechnung des Endergebnisses.

Verschoben wird ZWISCHEN diesen beiden Zeichnungen und nur dann findet die Berechnung statt, d.h. von den 4 parallelen Geraden müssen die beiden MITTLEREN nach Verschiebung identisch sein. d.h. die untere violette Gerade der letzten Zeichnung muss identisch sein mit der oberen roten Geraden der mittleren Zeichnung.

Zum Schluss ist dann NUR eine Zeichnung vorhanden.

(immer mit dem Wissen, dass es zwischen 3 Punkten hier immer 3 Sekanten gibt. Aber das wäre hier ja für die Zeichungen zu unübersichtlich, weil: 4 parallele Geraden minus 1 identische = 3 Geraden * 3 = 9 Geraden.)

* kenne ich vom Mittelwert der Differentialrechnung auch hier ist wieder eine gewisse Assoziation vorhanden - aber eben statt der Tangente die Sekanten.)

Gute Nacht lieber Werner-Salomon,

Martin

Kommentiert 6 Jan 2023 von MJHWL60

Es gibt noch Deine erste Zeichnung mit den 2 parallelen Kurven und die beiden anderen Zeichnungen müssen dort noch alle miteinander kombiniert werden.

mag sein, aber so weit bin ich noch nicht. Es geht mir zunächst ausschließlich darum die Aufgabe zu verstehen.

letzte Zeichung: ja, Verschiebung in x-Richtung ist richtig.

Ok - das ist gut. habe ich verstanden.

Die Zeichnung ist fast richtig. Es muss lediglich die rote Kurve durch die 2 Punkte auf der oberen blauen Linie verlaufen ...

die rote Kurve ist der Graph von $f(x)$ und der läuft nicht durch die 'verschobenen' Punkte. Ich verstehe hier nicht worauf Du hinaus willst. (?)

... und die 10.000 muss raus

Oh - das ist ein Missverständnis. Die 10000 gehört zur Skalierung der Y-Achse und hat sonst weiter keine Bedeutung.

mittlere Zeichnung: Die Zeichnung ist richtig. Hierfür soll vy berechnet werden, aber weiter braucht HIER nichts verschoben werden, ...

das ist wohl auch ein Missverständnis. Ich habe diese Zeichnung mit 'Abbildung 2' markiert. ich unterstelle Du meinst diese Zeichnung. Mein Kommentar mit der Abbildung 2 dient ausschließlich dafür, zu zeigen, dass die Sekanten nach dieser Konstruktion immer parallel sein müssen. Nicht mehr und nicht weniger - hat mit Deiner Aufgabe also nicht unmittelbar was zu tun!

Das was ich da gezeigt habe ist sowas wie ein mathematischer Beweis, dass die Sekanten parallel sein müssen.

Wir haben jetzt insgesamt 4 parallele Geraden mit 2 unterschiedlichen Herleitungen gefunden. (2 Geraden in der letzten Zeichung und 2 Geraden in der mittleren Zeichnung.)
Diese Verschiebungen in jeder Zeichnung werden nur zur Ermittlung der Lage innerhalb benötigt und NICHT für die Berechnung des Endergebnisses.

Spätestens beim letzten Satz verstehe ich gar nichts mehr.

Eine Bitte: versuche bitte alles zu bezeichnen. Wir haben die Funktion $f(x)$, die steht fest. Weiter gibt es die Funktion $g(x)$ bei der das $v_y$ (noch) unbekannt ist. Und wir haben einen Haufen Geraden (Sekanten) - bezeichne bitte die Gerade mit ihren Schnittstellen.

In der Abbildung 3 ist die lila Sekante (die linke) die Gerade durch die beiden Punkte $(-s_3;\, f(-s_3))$ und $(-s_2;\,f(-s_2))$

und die blaue (rechte) Gerade ist die durch die Punkte $(s_2;\,f(-s_3))$ und $(s_3;\,f(-s_2))$.

Du kannst sie einmal definieren - zum Beispiel so:$$g_{<Nummer>}:= \quad (-s_3;\, f(-s_3))\dots(-s_2;\,f(-s_2))$$bzw. in Textform: g_<Nummer> := (-s_3;f(-s_3))...(-s_2;f(-s_2))

und später brauchst Du dann nur das $g_{<Nummer>}$ zu schreiben. Die <Nummer> kannst Du dann selber vergeben, je nach dem wie Du das für sinnvoll erachtest.

Es ist essentiell, dass wir wissen über was wir schreiben, sonst kommen wir hier nicht weiter. ich habe - Stand jetzt - noch keine Ahnung wo die Aufgabenstellung drauf hinaus läuft ;-)

Gruß Werner

Kommentiert 6 Jan 2023 von Werner-Salomon

Hallo lieber Werner,

berechnet werden soll ja der (wahrscheinlich optimal ?) BERECHNETE ! Abstand zwischen f(x) und g(x).

Ich werde einmal eine neue Frage aufmachen, um die Herleitung der hier bereits als bekannt vorausgesetzten f(x) = 200x²-2240x+2022 aufzuzeigen (ist ein Näherungsverfahren mit einer arithmetischen Folge, die auf einen Grenzwert hinausläuft (deshalb entstehen ja erst die parallelen Kurven) - ich nehme dann aber ganze Zahlen mit konstantem Abstand und f(x)=x² als Anfangsfunktion, weil es leichter zu rechnen ist. Vielleicht ist es am besten, wenn beide Fragen gleichzeitig "laufen", weil es ja eine Eingangsfunktion und eine Ausgangsfunktion sind und beide berechnet werden müssen (Iteration).

Die Beschriftung Abbildung 1 bis 3 ist super.

Die Abbildungen 2 und 3 sind soweit zeichnerisch richtig, aber NUR die Farbe für g(x) müsste bei Abbildung 2 statt blau genauso GRÜN sein wie in Abbildung 1.

Abbildung 3:
die BLAUE Gerade verläuft durch die Punkte (s_2;f(s_2)) und (s_3;f(s_3)) = beide Punkte liegen auf f(x).
die LILA Gerade verläuft durch die Punkte (-s_3;f(s_2)) und (-s_2;f(s_3)) und berührt f(x) in diesem Intervall NICHT.

Die LILA Gerade aus Abbildung 3 muss zum Schluss identisch sein (werden) mit der roten Geraden aus Abbildung 2.

Vielen, vielen Dank
Tschüß
Martin

Kommentiert 7 Jan 2023 von MJHWL60

Hallo lieber Werner,

bitte entschuldige vielmals, weil hier alles parallel mit verschiedenen Fragen läuft, aber ich habe noch etwas neues HIERFÜR "beizusteuern" und wollte es VORAB unbedingt "loswerden".

Die Gerade ist für die OBERE quadratische Funktion PASSANTE, aber auch GLEICHZEITIG für die UNTERE quadratische Funktion SEKANTE (ROTE Linie aus Abbildung 2)

Text erkannt:

$ 31,36 a+5,6 b+d=f(1,2)+f(2,1)+f(2,3) $
$ -2,1 r+s=1,44 a+1,2 b+d $
$ 1,2 r+s=4,41 a+2,1 b+d $
$ 2,3 t+u=4,41 a+2,1 b+d $
$ -2,1 t+u=5,29 a+2,3 b+d $
$ 31,36 a+5,6 b+c=5,6 r+s $
$ 31,36 a+5,6 b+c=5,6 t+u $

f(x) = a*x² + b*x + d = BEDINGUNG aus meiner allerersten Frage nach C der kubischen Funktion

Gerade1 = r(x) + s jeweils 2 Gleichungen zur Festlegung dieser Gerade

Gerade2 = t(x) + u " " " " " " "

Die letzten 2 Gleichungen bedeuten dann noch: Beide Geraden haben einen gemeinsamen Punkt im Extrempunkt der QUADRATISCHEN Funktion.

(Diese 2 ! QUADRATISCHEN Funktionen sind ja zur Berechnung der späteren (DIR bereits bekannten) kubischen Funktionen notwendig.)

Ich bin überhaupt sehr, sehr froh, dass es jemanden wie DICH gibt, der sich so geduldig mit meinen Berechnungen beschäftigt. Da kann es ruhig noch einige Tage länger dauern, bis Du wieder einmal Zeit hast.

Vielen, vielen lieben Dank im voraus

Martin Hümer

Kommentiert 17 Jan 2023 von MJHWL60

Abbildung 3:
die BLAUE Gerade verläuft durch die Punkte (s_2;f(s_2)) und (s_3;f(s_3)) = beide Punkte liegen auf f(x).

Ich hatte Dich vor ein paar Tagen gefragt, was Du mit 'parallelen in das Intervall verschobenen' Sekanten meinst. Hier schreibst Du, das die Sekante durch die bedien Punkte verlaufen soll, durch die sie eh' verläuft.

Ich verstehe nicht auf was Du hinaus willst!? Was ist denn nun mit der 'parallelen Veschiebung in das Intervall' gemeint?

Die Gerade ist für die OBERE quadratische Funktion PASSANTE, aber auch GLEICHZEITIG für die UNTERE quadratische Funktion SEKANTE (ROTE Linie aus Abbildung 2)

Um welche Gerade handelt es sich und was ist so besonders daran? Mit 'obere quadratische Funktion' meinst Du wahrscheinlich $f$ un mit der unteren $g$ - oder? Dann schreib das bitte, dann kann man auch verstehen über was Du schreibst.

2 parallele Kurven und 3 grüne parallele Geraden.

tut mir leid - ich kann Dir hier nicht folgen. Benenne bitte die Geraden mit Buchstaben (unterschiedliche Buchstaben für unterschiedliche Geraden) und schreibe immer dazu, wie sie definiert sind.

Ansonsten hat man kein Chance Deine Ausführungen zu verstehen.

Gruß Werner

Kommentiert 22 Jan 2023 von Werner-Salomon

Hallo lieber Werner,

Du hattest mir freundlicherweise in Desmos 3 Zeichnungen, aber ohne Benennung der Kuven und Geraden angefertigt.

Ich hatte dann DAMALS ! dazu geschrieben, was geändert werden muss, damit nur eine ! Zeichnung entsteht. Zu DIESER alten vorherigen Beschreibung gehörte deshalb u.a. auch mein folgender Satz:

( Abbildung 3:
die BLAUE Gerade verläuft durch die Punkte (s_2;f(s_2)) und (s_3;f(s_3)) = beide Punkte liegen auf f(x). )

Die ANDEREN Sätze von mir dazu hast Du jetzt aber nicht mehr aufgeschrieben, sondern NUR DIESEN einen aus dem Zusammenhang "herausgerissen".

ABER auch dieser Satz ist ja mittlerweile obsolet, weil ich ja selber eine KOMPLETTE Zeichnung anfertigen konnte.

Die Geraden h und p verlaufen durch die Extremstelle von g. Aus ihnen könnte man die 1. Ableitung ermitteln.

f und g sind parallel.

p, q und r sind parallel.

h und p sind auf der X-Achse verschoben, aber das ist hier - glaube ich - nicht einnwandfrei zu erkennen. Schade, das man sich in geogebra die Eingabewerte nicht mehr nachträglich ansehen kann.

f und g werden SPÄTER integriert. OBERE und UNTERE kubische Funktion. Für die MITTLERE kubische Funktion (Mittelwert) habe ich Rechtecke in den Intervallen 0 und 1,2 , 1,2 und 2,1 2,1 und 2,3 sowie 2,3 und 5.6 gebildet und NUR diese Summe besteht aus NUR einer Konstanten, d.h. die Kurven f und g sowie die Geraden h und p werden im Zusammenhang automatisch OHNE weitere Konstanten berechnet.

Weil ich lange nach einer Antwort HIER gesucht habe und es schon wieder spät ist, sehe ich mir Deine anderen Antworten erst morgen an.

Vielen, vielen lieben Dank im voraus für Deine Bemühungen

Gute Nacht lieber Werner

Tschüß

Martin Hümer

Kommentiert 22 Jan 2023 von MJHWL60

Hallo lieber Werner,

NACHTRAG (Frage -hier weiter oben- nach der Besonderheit):

Die Herleitung erfolgt auf 2 ganz verschiedene / unterschiedliche Arten:

1.) bislang bekannte Herleitung:

a.) 2 Sekanten von f(x) werden auf der x-Achse verschoben und werden zu Geraden p und h

b.) g(x) wird auf der y-Achse verschoben, bis ALLE einen gemeinsamen Punkt haben (= Extrempunkt von g(x))

2.) rechnerische Herleitung über NUR eine einzige Funktion mit 3 Berechnungen:

a) erste Berechnung im (Teil)Intervall 1,2 und 2,1

f(1,2) und f(2,1) werden als Werte in diese Funktion eingesetzt. Das Ergebnis ist Gerade h.

b) zweite Berechnung im (Teil)Intervall 2,1 und 2,3

f(2,1) und f(2,3) werden als Werte in diese Funktion eingesetzt. Das Ergebnis ist Gerade p.

b) dritte Berechnung im gesamten Intervall 1,2 und 2,3

Gerade h und Gerade p werden wiederum als Werte in diese Funktion eingesetzt. Das Ergebnis ist die quadratische Funktion g(x).

BEI DIESER BERECHNUNG BRAUCHT DESHALB WEITER NICHTS MEHR VERSCHOBEN WERDEN, WEIL ES AUTOMATISCH "PASSIERT".

Ich werde demnächst in einer neuen "Frage" mit dem Anfang aller Berechnungen beginnen. Dann wird auch diese Funktion hier verständlich werden.

Vielen Dank

Martin Hümer

Kommentiert 24 Jan 2023 von MJHWL60

📘 Siehe "Quadratische" im Wiki

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