Summen berechnen mit Lösungsweg

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \sum \limits_{n=4}^{27} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Die Summenformel für die geometrischen Reihe lautet:$$\sum\limits_{n=0}^Nq^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}\quad\text{für }q\ne1$$Forme deine Summe so um, dass du diese Formel anwenden kannst:$$S=\sum\limits_{n=4}^{27}4\cdot\left(\frac12\right)^n=\sum\limits_{n=4\pink{-4}}^{27{\pink{-4}}}4\cdot\left(\frac12\right)^{n\pink{+4}}=\sum\limits_{n=0}^{23}\underbrace{4\cdot\left(\frac12\right)^{\pink4}}_{=\frac14}\cdot\left(\frac12\right)^n=\frac14\cdot\sum\limits_{n=0}^{23}\left(\frac12\right)^n$$$$\phantom S=\frac14\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{24}}{1-\frac12}=\frac{1\cdot\pink2}{4}\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{24}}{\left(1-\frac12\right)\cdot\pink2}=\frac12\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^{24}}{2-1}=\frac12\cdot\left(1-\left(\frac12\right)^{24}\right)$$$$\phantom S=\frac12-\left(\frac12\right)^{25}$$

Answer 2

4 vor das Summenzeichen ziehen,

Formel für die geometr. Reihe anwenden

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Geometrische_Reihe

Comments

Ich habe 2 rausbekommen. Ist es richtig ?

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Nein:

https://www.wolframalpha.com/input?i=4*sum+%281%2F2%29%5En+from+4+to+27

Dein Rechenweg?

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PS:

summe = 4* (1/2)^4* (0,5^23-1)/0,5 = ...

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Text erkannt:

f)
\( \begin{aligned} & \sum \limits_{n=4}^{27} 4 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ = & 4 \cdot \sum \limits_{n=4 \cdot 4}^{27}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ = & 4 \cdot \sum \limits_{n=0}^{23}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\frac{1}{2}^{0}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}^{2}-\frac{1}{2}^{3} \\ = & 4 \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}-41-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8} \\ = & 4 \cdot 2-1,875 \\ = & 8-1,875=6,125 \end{aligned} \)

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Du hast da etwas vermischt.

Deer Grenzwert für n gegen unendlich hat hier nichts verloren.

Es sind nur 24 Giieder.

Answer 3

$$\sum \limits_{n=4}^{27} 4 \cdot 0.5^n \newline = 4 \cdot \sum \limits_{n=4}^{27} 0.5^n \newline = 4 \cdot \left( \sum \limits_{n=0}^{27} 0.5^n - \sum \limits_{n=0}^{3} 0.5^n \right) \newline = 4 \cdot \left( \frac{0.5^{28} - 1}{0.5 - 1} - \frac{0.5^{4} - 1}{0.5 - 1} \right) \newline = \frac{16777215}{33554432}$$