Aloha :)
Wenn alle \(n\) möglichen Ergebnisse \(x_i\) einer Zufallsvariablen \(X\) und deren Eintritts-wahrscheinlichkeiten \(p_i\) bekannt sind, kannst du den exakten Erwartungswert \(\mu_X\) bestimmen:$$\mu_X=\sum\limits_{i=1}^N x_i\cdot p_i$$Die Varianz kannst du dann wie folgt berechnen:$$V(X)=\sum\limits_{i=1}^n p_i\cdot(x_i-\mu_X)^2\quad\text{(Varianz)}$$
Bei einer Stichprobe kennst du nicht alle möglichen Ergebnisse \(x_i\) einer Zufallsvariablen \(X\). Auch die Eintrittswahrscheinlichkeiten \(p_i\) sind unbekannt. Daher kann man den exakten Erwartungswert \(\mu_X\) nicht bestimmen. Stattdessen wiederholt man das Zufallsexperiment \(n\)-mal und bestimmt jeweils das Ergebnis \(x_i\) der Zufallsvariablen. Anstatt des Erwartungswertes \(\mu_X\) bestimmt man nun den Mittelwert:$$\overline x=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$Zur Berechnung der StichprobenVarianz ordent man jedem Messwert \(x_i\) die gleiche Wahrscheinlichkeit \((p_i=\frac1n)\) zu und setzt in die Formel von oben anstelle des Erwartungswertes \(\mu_X\) den Mittelwert \(\overline x\) ein:$$V(X)=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2\quad\text{(Stichprobenvarianz)}$$
Diese Stichprobenvarianz unterschätzt jedoch die tatsächliche Varianz, weil der Mittelwert \(\overline x\) nur einen Näherungswert für den exakten Erwartungswert \(\mu_X\) darstellt. Die Näherung ist zwar umso besser, je größer die Anzahl \(n\) der Wiederholungen ist, aber sie enthält immer eine Abweiung zwischen \(\overline x\) und \(\mu_X\). Diese Abweichung planzt sich in die Varianz fort und führt zu einer Erhöhung. Um diesen Effekt zu berücksichtigen reicht es aus, den Vorfaktor \(\frac{1}{n-1}\) anstatt \(\frac1n\) zu wählen:$$V(X)=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2\quad\text{(erwartungstreue Stichprobenvarianz)}$$
Zusammengefasst:
1) Verwende die Formel für die Varianz, wenn der Erwartungswert \(\mu_X\) bekannt ist.
2) Vergiss die Formel für die Stichprobenvarainz.
3) Verwende die Formel für die erwartungstreue Stichprobenvarianz, wenn der Mittelwert \(\overline x\) als Näherung für den (unbekannten) Erwartungswert \(\mu_X\) gewählt wird.
