Bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes M und den Radius r der Kreislinie k .

Question

Aufgabe:

Bestimme die Koordinaten des Mittelpunktes \( M \) und den Radius \( r \) der Kreislinie \( k \).

a) \( k: \quad x^{2}-2 x+y^{2}+4 y=2 \)

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand die Nummer a erklären?

Answer 1

Hallo,

ergänze einfach so, dass binomische Formeln entstehen.

Z.B.

a)

x^2-2x+...+y^2+4y+... =2+... + ...

x^2-2x+1 +y^2+4y+4=2+1 + 4

(x-1)² + (y+2)² = 7

M(1|-2) ; r=√7

Answer 2

Du kannst das auch schreiben als Kreisgleichung

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 7

und dann das Gefragte direkt ablesen.

Answer 3

Ein anderer Weg, der auch zu neuen mathematischen Erkenntnissen führen kann:

a) \( k: x^{2}-2 x+y^{2}+4 y=2 \)

Schnittpunkte mit der x-Achse: \(y=0\)

\(    x^{2}-2 x=2 \)

\(    (x-1)^2=2+1=3|\sqrt{~~} \)

\(    x₁=1+\sqrt{3} \)

\(    x₂=1-\sqrt{3} \)

Mittelwert: \( \frac{1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{2}=1 \)

Schnittpunkte mit der y-Achse: \(x=0\)

\(  y^{2}+4 y=2 \)

\(  (y+2)^2 =2+4=6|\sqrt{~~} \)

\(  y₁ =-2+\sqrt{6} \)

\(  y₂ =-2-\sqrt{6} \)

Mittelwert: \( \frac{-2+\sqrt{6}+(-2-\sqrt{6})}{2}=-2 \)

Mittelpunkt: \(M(1|-2) \)

Berechnung von r:

Die Gerade \(y=-2\) schneidet den Kreis \(k: x^{2}-2 x+y^{2}+4 y=2 \)

in \(  x^{2}-2 x+(-2)^{2}+4 *(-2)=2 \)  →  \(  x^{2}-2 x=6 \)  →

 → \(  (x-1)^2=6+1=7| \sqrt{~~}\)  → \(  x₁=1+\sqrt{7}\)  Berechnung von x₂ ist nicht notwendig.

\(r=1+\sqrt{7}-1=\sqrt{7}\)

Comments

Geht auch, wenn der Kreis innerhalb eines Quadranten liegt:

Gegeben sei ein Kreis:

\(x^2-8x+y^2-6y=-21\)

Schnitt mit der x-Achse:

\(x^2-8x=-21\)       \((x-4)^2=-21+16=-5 =5i^2\)      \(x-4=5i^2\)

\(x₁=4+i*\sqrt{5}\)  \(x₂=4-i*\sqrt{5}\)    Mittelwert: \(\frac{x₁+x₂}{2}=4\)

Schnitt mit der y-Achse:

\(y^2-6y=-21\)   \((y-3)^2=-21+9=-12=12i^2\)    \(y-3=i*\sqrt{12}\)

\(y₁=3+i*\sqrt{12}\)  \(y₂=3-i*\sqrt{12}\)    Mittelwert: \(\frac{x₁+x₂}{2}=3\)

\(M(4|3)\)

Berechnung des Radius wie oben gezeigt.