Limes berechnen mit ln und umformen (Hilfestellung)

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe Probleme beim umformen:

lim_n->∞ ln(1+(x_n/n))·n

Ich habe als Voraussetzung, dass für die Folge lim_n->∞ x_n =x

Ich habe schon einiges versucht und auch mithilfe l‘hospital und komme nur auf lim_n->∞ x_n/((n+x_n)²)

Kann mir bitte hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

Ich glaub, ich weiß welchen Trick du brauchst.

Erst nochmal kurz zwei notwendige Fakten:

\((1):\;\lim_{n\to\infty}x_n = x \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}n = 0\)

\((2):\;\lim_{t\to 0}\frac{\ln (1+t)}{t} = 1\) (z. Bsp. schnell per L'Hospital zu zeigen)

Dann hast du:

\(n\ln\left( 1 + \frac {x_n}n\right) = x_n \frac{\ln\left( 1 + \frac {x_n}n\right)}{\frac{x_n}n}\stackrel{\stackrel{(1),(2)}{n\to\infty}}{\longrightarrow} x\cdot 1 = x\)

Answer 2

Hallo

xn=an  und 1/n=x dann x gegen 0 und L'Hopital

Gruß lul

Comments

Danke für deine Nachricht, ich verstehe nur nicht was du meinst. Ich schicke nochmal die Aufgabe rein.

Am Ende muss ich x rausbekommen.

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Hallo

für endliche xn kann man den GW bestimmen, wieso daraus x folgt ist mit nicht klar. also was genau ist die Aufgabe?

lul

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Es ist in der Aufgabenstellung gegeben, dass der Grenzwert der Folge x ist

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Text erkannt:

Und ich muss dies mithilfe ln lösen.

wenn ich nun zeige, dass das was bei e in der Potenz steht gegen x konvergiert, ist die Aufgabe gelöst.

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Weißt du was ich meine?

Answer 3

Wir verschaffen uns erstmal eine technische Abschätzung mit dem Mittelwertsatz: Demnach gibt es ein s in (0,t) oder(t,0) mit

$$\ln(1+t)-t=(\frac{1}{1+s}-1)t=-\frac{s}{1+s}t$$

Für \(|t|<0.5\) folgt

$$|\ln(1+t)-t| <2t^2$$

Und damit für hinreichen große n:

$$|n \ln(1+\frac{x_n}{n})-x_n|=n|ln(1+\frac{x_n}{n})-\frac{x_n}{n}| <2n\left(\frac{x_n}{n}\right)^2 \to 0$$

Comments

Vielen Dank, aber kann ich es auch über meinen Weg machen, wie ich es erst gedacht habe? Also die Potenz von e auf x bringen?

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Ich habe nachgewiesen, dass der von Dir eingangs genannte Term gegen x konvergiert. Wenn Du etwas anderes brauchst, ok

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Vielen Dank fürs nachrechnen!

Hast du l'hostpital benutzt? Ich habe zwei Mal abgeleitet und der Ausdruck wird ja immer größer und kompliziert. Hast du's mit einem anderen Trick gemacht?

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Ich verstehe Deine Frage nicht. Ich habe doch meinen Beweis aufgeschrieben?