Wenn \( Y_n \) poissonverteilt ist mit Parameter \( \lambda_n \) ergibt sich die charakteristische Funktion zu
$$ (1) \quad \Phi_{Y_n}(t) = \sum_{k=0}^\infty e^{i k t} \frac{\lambda_n^k}{k!} e^{-\lambda_n} = e^{-\lambda_n} \sum_{k=0}^\infty \frac{\left( \lambda_n e^{it} \right)^k} {k!} = e^{-\lambda_n} e^{ \lambda_n e^{i t} } = e^{ \lambda_n \left( e^{it} - 1 \right)} $$
Daraus ergibt sich
$$ (2) \quad \Phi_{Z_n}(t) = e^{-i t \sqrt{\lambda_n} } e^{ \lambda_n \left( e^{ i t / \sqrt{\lambda_n} - 1 } \right) } $$
Taylorentwicklung von (2) ergibt
$$ (3) \quad \Phi_{Z_n}(t) = \exp \left\{ -i t \sqrt{\lambda_n} + \lambda_n \left(i t / \sqrt{\lambda_n} - \frac{t^2}{2 \lambda_n } \right) + \mathcal O\left( \lambda_n^{-\frac{3}{2}} \right) \right\} \to \exp \left\{ -\frac{t^2}{2} \right\} $$
und das ist die charakteristische Funktion einer standardnormal verteilten Zufallsvariablen.
Und daraus folgt die Konvergenz in Verteilung.
Zu (2)
$$ \mathbb{E} \left( e^{ i t (c_1 X + c_2} \right) = e^{i t c_2} \mathbb{E} \left( e^{ i t c_1 X } \right) = e^{i t c_2 } \Phi_X \left( t c_1 \right) $$
mit \( c_1 = \frac{1}{\lambda} \) und \( c_2 = - \sqrt{\lambda} \) folgt (2)
