Zufallsvariable mit Dichtefunktion

Question

Aufgabe:

Es sei \( X \) eine stetige Zufallsvariable mit Dichtefunktion

\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{c x}, & \text { für } 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text { sonst. } \end{array}\right. \)

für einen Parameter \( c \in \mathbb{R} \).

(a) (2 Punkte) Begründen Sie, dass dann notwendigerweise \( c=\ln (2) \) gelten muss.

(b) (4 Punkte) Bestimmen Sie (für \( c=\ln (2) \) ) die Verteilungsfunktion von \( X \).

(c) (3 Punkte) Bestimmen Sie \( P\left(X=\frac{5}{4}\right) \) und \( P\left(X \geq \frac{3}{2}\right) \).

Problem/Ansatz:

Guten Abend, könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen, in dem er mir einen Ansatz/ Lösungsvorschlag zeigt?

Answer 1

a)

Weil nur dann das Integral der Dichtefunktion von 1 bis 2 gleich 1 ist.

b)

Setze c = ln 2 ein und integriere die Dichtefunktion ab x = 1

c)

Integriere die Dichtefunktion von 5/4 bis 5/4 und von 2/3 bis 1.

Answer 2

(a) Löse die Gleichung \(\int_1^2f(x)\,\mathrm{d}x = 1\)

(b) \(F_X(x) =\begin{cases}0&x< 1\\\int_1^x f(t)\,\mathrm{d}t&1 \leq x\leq 2\\1&2 < x\end{cases}\)

(c) \(P\left(X=\frac{5}{4}\right) = 0\), \(P\left(X\geq\frac{3}{2}\right) = 1 - F_X\left(\frac{3}{2}\right)\)