Matrix Bestimmen und mit c rechnen

Question

Aufgabe:

Die Folge \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{\geq 1}} \) von natürlichen Zahlen sei rekursiv gegeben durch \( c_{1}=1 \), \( c_{2}=3 \), and \( c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n} \) für \( n \geq 1 \).
(i) Bestimmen sie ein \( A \in M_{2}(\mathbb{R}) \) mit \( A \cdot\left(\begin{array}{c}c_{n+1} \\ c_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}c_{n+2} \\ c_{n+1}\end{array}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe nicht, weder wie man auf die Matrix kommt noch was mit den c_n.. gemeint ist oder was Rekursiv bedeutet

Answer 1

Hallo

a) rekursiv heisst ,dass man aus den ersten ci die nächsten ausrechnen kann also hier ist c1=1 und c2=3  gegeben  dann ist c3=c1+c2=4 c4=c2+c3=3+4=7 usw. jetzt sollst du eine Matrix A= \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) mit A\( \begin{pmatrix} cn\\cn+1 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} cn+1\\cn+2\end{pmatrix} \) indem du rechts die Formeln für die Rekursiv einträgst. also einfach a,b,c,d bestimmst.

Gru0 lul

Comments

 \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} cn\\cn+1 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} cn+1\\cn+2\end{pmatrix} \)

Meinst du jetzt das oder wie ? Komme ich so auf A, wie bestimme ich a,b,c,d könntest du eines als beispiel bestimmen?

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Hallo

trage rechts cn+2=cn+cn+1 ein und schreibe die Gleichungen für a,b,c,d auf, die Lösung ist einfach

1. Schritt a*cn +b*cn+1=cn+1   also a=0 b=1

jetzt du mit  Schritt 2

Gruß lul

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Also c*c_n + d*c _n+1 = c _n+2    richtig? und die lösung wäre c= -1 und d= 2? Richtig?

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Hallo

wie kommst du darauf, dass -cn+2cn+1=cn+2 ist??

was weisst du denn über cn+2?

lul

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Okay, dann weiß ich nicht wie man es löst dachte das wäre adners

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Ich dachte falscher weiße, dass es dann nicht 2cn+1 ist sondern c2n+2  weil mir sonst ein Rätsel ist wie man von cn+1 auf 2 kommt

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Das steht als erstes in der Aufgabe ; cn+2=cn+1+cn

und c2n+2 oder 2cn+1 kommt nirgends vor?

lul

PS "falscher weiße" gibt es nicht : fälschlicher Weise meinst du vielleicht?  oder falsches  Weiß  also  etwa gelb?

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Okay also ist es so: c= 1 d=1 damit es und a ist=

\( \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

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Ich hoffe du verstehst trotzdem was ich ausdrücklich möchte

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Da ist jetzt aber einiges schief gegangen. a*cn +b*cn+1=cn+1 Müsste das nicht genau anders herum sein ? Also a*c_n+1+ b*c_n=c_n+1  und somit a= 1 und b = 0

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Hallo

mach doch einfach die Probe! multipliziere die Matrix mit (cn,cn+1)^T

lul