Lokale Extremstellen ermitteln

Question

Aufgabe:

f(x)=x² ln(x²)

Zusätzlich wurde definiert, dass f(0)=0.

Wir sollen nun alle lokalen Extremstellen ermitteln.

Problem/Ansatz:

Die Funktion hat insgesamt 3 Extremstellen und 2 konnte ich ganz einfach über die erste Ableitung herausfinden. Die 3. Extremstelle liegt bei x=0. Nur wie soll ich diese mathematisch ermitteln? Sie existiert nur wegen diesem "Zusatz". Normal wäre f(0) nicht definiert, deswegen kann man hier auch nicht mit der 1. Ableitung arbeiten.

Ich hoffe mein Problem ist deutlich geworden. Danke für alle Antworten schon mal im Voraus.

Answer 1

Die Funktionswerte in der Nähe von 0 sind negativ und bei 0 ist der Funktionswert 0 (und somit größer als unmittelbar links oder rechts daneben).

Answer 2

Nur wie soll ich diese mathematisch ermitteln?

Ermittelt hast du sie ja.. Und weil in der Nähe von 0

für alle x≠0 überall f(x)<0  ist , ist bei 0 ein lok. Maximum.

Comments

„für alle x≠0 überall f(x)<0  ist , ist bei 0 ein lok. Maximum.“

Genau diese Aussage muss ich irgendwie mathematisch beweisen. Aber wie? Ich muss die Aufgabe einreichen also muss das absolut eindeutig und unanfechtbar sein.

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x² ist immer positiv. ln(x^2) ist in einem gewissen Intervall um 0 herum negativ.

Wenn du die Aufgabe einreichen willst und dafür auch noch eine gute Note bekommen willst, solltest du schleunigst mal angeben, in welchen Intervallen ln(x^2)  negativ ist.

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ln(x²) ist in den Intervallen [-1,0) und (0,1] negativ. Ich weiß auch, dass die Funktion in diesen Intervallen negativ ist. Nur weiß ich nicht wie so ein Beweis formal aussehen könnte.

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Aus 0<x²<1 folgt ln(x²)<0 ?

Oder welche fehlenden Grundkenntnisse deines Profs musst du ihm noch erklären?

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Normal wäre f(0) nicht definiert, deswegen kann man hier auch nicht mit der 1. Ableitung arbeiten.

Was heißt "normal" ?
f(0) ist definiert, f ist auf ganz ℝ differenzierbar und man kann sehr wohl mit der ersten Ableitung arbeiten.