Menge in Kugelkoordinaten u. Transformationsformel

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 11.2. (5 Punkte)
(i) Beschreiben Sie die Menge
\( C:=\left\{(r(\sin \theta) \cos \phi, r(\sin \theta) \sin \phi, r \cos \theta) \in \mathbb{R}^{3}: r \in[1,3], \quad \theta \in[0, \pi], \quad \phi \in[0, \pi / 3]\right\} \)
in kartesischen Koordinaten.
(ii) Bestimmen Sie das Integral
\( \iiint_{C} z^{2} d x d y d z \)
unter Verwendung der Kugelkoordinaten und der Transformationsformel.

Problem/Ansatz:

(i.) Die Menge C beschreibt einen Kugelabschnitt in kartesischen Koordinaten. Dieser Kugelabschnitt beschreibt alle Punkte, die sich in einem bestimmten Bereich des Raumes befinden. Der erste Komponente des Punkts ist r(sin θ)cosφ, die zweite Komponente ist r(sin θ)sinφ und die dritte Komponente ist rcosθ. Der Wert von r muss dabei im Intervall [1,3] liegen, der Wert von θ im Intervall [0,π] und der Wert von φ im Intervall [0,π/3].

(ii.)

Transformationsformel lautet:

x=r*sin(θ)*cos(Φ)

y=r*sin(θ)*sin(Φ)

z=r*cos(θ)

Ab hier komme ich an eine Sackgasse. Ich weiß das man für die Aufgabe (ii) die Aufgabe (i) gelöst haben muss.

Danke im Voraus :)

Answer 1

Hallo

das was du aufschreibst ist die Definition der Kugelkoordinaten nicht die Tranformationsformel die gibt an wie man dV=dxdydz nach dr, dΘ, dφ umrechnet, wenn du es nich selbst kannst siehe bei Kugelkoordinaten in wiki

du brauchst die Determinante der Jakobimatrix

addiere die Quadrate der kartesischen Koordinaten um die Menge in kartesischen Koordinaten zu bestimmen, dann die grenze für x,y,z durch einsetzen ,

Gruß lul