schnell fallende Funktion?

Question

Welche der Funktionen ist schnell fallend?
\( f(t)=\sin (t) e^{-t^{2}} \quad, \quad g(t)=\sin \left(e^{t^{2}}\right) e^{-t^{2}} \)

Comments

Soll mit "fallend" wirklich "monoton fallend" gemeint sein ?

Die Angabe eines Definitionsbereiches ist in jedem Fall erforderlich !

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@ Blume

Wie Du siehst, solltest Du wohl die Definition von "schnell fallend" hier bereitstellen.

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Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \) heißt schnell fallend, wenn \( f \) beliebig oft differenzierbar ist und für jedes \( k \in \mathbb{N}_{0} \) die \( k \) te Ableitung \( f^{(k)} \) die Bedingung
\( \|f\|_{k, m}:=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left(1+|x|^{m}\right)\left|f^{(k)}(x)\right|<\infty \)
erfüllt für alle \( m \in \mathbb{N}_{0} \), also
\( (\forall x \in \mathbb{R}) \quad\left|f^{(k)}(x)\right| \leq \frac{C}{1+|x|^{m}} \)
gilt mit \( C=\|f\|_{k, m} \)

Answer 1

Die erste Funktion ist schnell fallend. Eine detaillierte Abschätzung ist recht schreibaufwändig. Hier mal die wesentlichen Punkte:

1. Höhere Ableitungen von f sind Linearkombinationen aus Produkten der Ableitungen \((\sin(t))^{(k)}\) und \((\exp(-t^2))^{(j)}\).Genaueres sagt eine der Leibniz-Formeln.

2. Ableitungen des sin sind sin und cos. Beide sind durch 1 beschränkt.

3. Ableitungen von \(exp(-t^2)\) haben die Form \(P_n(t)\exp(-t^2)\) mit einem Polynom \(P_n\).

4. Jedes Polynom von Grad n lässt sich abschätzen: \(|P_n(t)| \leq a(1+|t|^n)\). DAbei ist a die Summe der Absolutbeträge der Koeffizienten.

5. Insgesamt erhält man eine ABschätzung für die k-te Ableitung \(|f^{(k)}(t) \leq A(1+|t|^n)\exp(-t^2)\) mit einem geeigneten n.

6. Schließlich ist die Exponentialfunktion beliebig schnell wachsend, bzw. hier konkret für beliebiges m:

$$\exp(-t^2)=\frac{1}{\exp(t^2)}=\frac{1}{\sum_{i=0}^{\infty}t^{2i}/(i!)} \leq \frac{1}{1+t^{2m}/(m!)}$$

Bei der Funktion g würd ich mal die erste Ableitung berechnen.

Answer 2

Für welche t ist f(t) definiert?

e^(-t^2) = 1/e^(t^2)

Comments

Kannst Du mal den Zusammenhang Deiner Antwort mit der Frage erläutern?

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Weil ich denke, dass das weiterhelfen könnte.

e^t^2 geht gegen oo, für t -> oo

sin pendelt zwischen -1 und 1.

Answer 3

Schau dir zunächst an wie die Aufgabe ganz exakt lautet. Und dann schaust du dir die beiden Funktionen mal aufgezeichnet an.

~plot~ e^(-x^2)*sin(x);e^(-x^2)*sin(e^(x^2));[[-3|3|-1|1]] ~plot~

Vielleicht kannst du die Frage dann allein schon anhand des Graphens beantworten.

Der Graph könnte ein Logo eines Kopfhörer-Herstellers sein,