Aufgabe zum goldenen Schnitt

Question

In einem Quadrat ABCD sei M der Mittelpunkt der Seite \( \overline{AB} \). Die Inkreise der Dreiecke AMD sowie MBC sind Einheitskreise. Wie groß ist der Radius des Inkreises des Dreiecks DMC.

Answer 1

Für den Inkreisradius gilt: r = 2·A/u

r1 = 2·(1/2·a·a/2)/(a + a/2 + √(a^2 + (a/2)^2)) = 1 --> a = 3 + √5

r2 = 2·(1/2·a·a)/(a + 2·√(a^2 + (a/2)^2)) = 1/2 + √5/2

Comments

Wie kommst du auf r1 = 2·(1/2·a·a/2)/(a + a/2 + √(a2 + (a/2)2))?

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Wie kommst du auf r1 = 2·(1/2·a·a/2)/(a + a/2 + √(a2 + (a/2)2))?

Beim Dreieck AMD gilt

A = 1/2·a·a/2
u = a + a/2 + √(a^2 + (a/2)^2))

Das setze ich einfach nur ein.

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Du verwendest also den Satz:

Für den Inkreisradius r eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Fläche A und dem Umfang u gilt: r = 2·A/u.

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Ich verwende den Satz

https://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis

Das rechtwinklige Dreieck ist also nur ein Spezialfall, aber auch dort gilt der Satz natürlich.

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Ein sehr schöner Satz, den ich nicht kannte. Danke dafür.