Finde n und c so, dass diese Gleichung gilt.

Question

Aufgabe:

Wie findet man ein c und n, sodass für alle n größer diesem n folgende gleichung gilt

n*2^n<=c*e^n.

Problem/Ansatz:

Bestimmt braucht man da ein paar logarithmus Regeln auf die ich nicht komme

Comments

Das ist keine Gleichung.

Answer 1

Hier ist eine Lösung ohne Taschenrechner und ohne Logarithmus. Man muss nur wissen, dass \(\boxed{e>2.5 = \frac 52}\):

Die Ungleichung ist äquivalent zu:

\( \left(\frac 2e\right)^n\leq \frac cn\)

Nun haben wir:

\(\frac 2e < \frac 2{\frac 52} = \frac 45 = \frac 1{1+\frac 14}\)

Jetzt benutzen wir die binomische Formel und schätzen ab

\((1+\frac 14)^n > \frac n4 \) für \(n\geq 1\):

Also haben wir für \(n\geq 1\)

\(\left(\frac 2e\right)^n< \frac 1{\left(1+\frac 14\right)^n}< \frac 1{\frac n4} = \boxed{\frac 4n}\)

\(\Rightarrow c=4, N=1\) ist eine mögliche Lösung.

Comments

Habe bei deiner Abschätzung mit der binomischen Formel dein Relationszeichen korrigiert.

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Oh. Danke hallo97. Sehr nett.

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Gerne. :D Und das ist ein wirklich sehr hübscher Lösungsweg !!

Answer 2

Graphen von \(f(n) = n\cdot 2^n\) und \(g(n) = c\cdot \mathrm{e}^n\) von einem geeigneten Computerprogramm in eine gemeinsames Koordinatensystem zeichnen lassen.

Wert für \(c\) wählen.

Schnittpunkt der Funktionen ablesen.

Comments

Ich habe vergessen zu erwähnen, dass man dies ohne Hilfsmittel und Taschenrechner machen muss

Answer 3

Hallo :-)

Mein Ansatz ist folgender:

Ich betrachte dazu verschiedene Ungleichungen seperat:

$$ n\cdot 2^n\leq c\cdot e^n $$

Logarithmus auf beiden Seiten ergibt

$$ \ln(n)+n\cdot \ln(2)\leq \ln(c)+n\Leftrightarrow \ln\left(\frac{n}{c}\right) \leq n\cdot (1-\ln(2)) $$

Daraus könnte man zb \(c=2\) und \(N=1\) wählen.

Da ich nun aber angenommen, dass meine erste Ungleichung gilt, ich sie mit dem Logarithmus umgeformt habe, kann ich aber trotzdem noch falsch liegen, da ich es zunächst nur vermutet habe. Also muss die obige Ungleichung mit den gewählten Werten auf seine Richtigkeit überprüft werden, also bewiesen. Hier bietet sich ganz hübsch Induktion an. Probiers mal.

Comments

Wie soll da Induktion gehen? Ich krieg da ln(n+1) nicht umgeformt.

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Oh das war wohl ein Missverständnis. Ich meinte deine Ausgangs-Vermutung, also \(n\cdot 2^n\leq 2\cdot e^n\) für alle \(n\in \N_{\geq 1}\). Diese würde ich mit Induktion beweisen.

Answer 4

Mit oswalds Vorschlag:

\( f(x)=x \cdot 2^{x} \)
\( g(x)=c \cdot e^{x} \)
\( c\approx1.1989 \)
\( f(x) \leq g(x) \)

 :-)

Answer 5

(2/e)^n <= c/n

n*ln(2/e) <= ln(c/n)

n <= ln(c/n)/ln(2/e)

n<= (lnc-ln n)/(ln2 -1) = -1,30685*(lnc-ln n)

https://www.wolframalpha.com/input?i=n%3C%3D+%28lnc-ln+n%29%2F%28ln2+-1%29

Answer 6

Ich würde definierten:

$$f:[0,\infty) \to [0,\infty), \quad f(x):=x(2/e)^x$$

Dann läuft die Ungleichung darauf hinaus, ob / wann \(f(n) \leq c\) gilt. Wegen

$$f'(x)=(2/e)^x(1+x\ln(2/e))$$

ist f zunächst wachsend, nimmt ein Maximum bei \(z:=-\frac{1}{\ln(2/e)}=3.26\) an und fällt dann. Also gilt zum Beispiel für \(n \geq 4\) \(f(n) \leq c:=f(4)=1.17\). Jetzt kann man auch noch den maximalen Funktionswert von f auf den natürlichen Zahlen für c nehmen ....