Bestimmen Sie den Kern der Matrix A (modulo 3)

Question

Betrachten Sie

\( \varphi: \mathbb{F}_{3}^{3} \rightarrow \mathbb{F}_{3}^{3}, \quad \varphi(v)=A \cdot v \quad \text { mit } \quad A=\left[\begin{array}{lll} {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} & {[2]_{3}} & {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[2]_{3}} \end{array}\right] \in \mathbb{F}_{3}^{3 \times 3} . \)

(a) Bestimmen Sie den Kern der Matrix \( A \).


(b) Bestimmen Sie alle Lösungen \( v \in \mathbb{F}_{3}^{3} \) der Gleichung

\( \varphi(v)=\left(\begin{array}{l} {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} \end{array}\right) . \)

Verwenden Sie dabei ausschließlich die kanonischen Repräsentanten der Restklassen. Sie dürfen abkürzend für \( z \in\{0,1,2\} \) anstatt \( [z]_{3} \) auch einfach \( z \) schreiben.

Answer 1

\( \left[\begin{array}{lll} {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} & {[2]_{3}} & {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[2]_{3}} \end{array}\right] \)  2. Zeile plus dritte

\( \left[\begin{array}{lll} {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} & {[0]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[2]_{3}} \end{array}\right] \)  3. Zeile minus erste

\( \left[\begin{array}{lll} {[2]_{3}} & {[1]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} & {[0]_{3}} & {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} & {[0]_{3}} & {[2]_{3}} \end{array}\right] \) 

==> \( \left(\begin{array}{l} {[x]_{3}} \\ {[y]_{3}} \\ {[z]_{3}} \end{array}\right) \in  Kern(A) \)

   Also   z=0   und y beliebig und 2x+y=0 also x=y

   Für alle   \( y \in \mathbb{F}_{3}\)  ist    \( \left(\begin{array}{l} {[y]_{3}} \\ {[y]_{3}} \\ {[0]_{3}} \end{array}\right) = y\cdot  \left(\begin{array}{l} {[1]_{3}} \\ {[1]_{3}} \\ {[0]_{3}} \end{array}\right)   \in Kern(A) \)

Also dim = 1.

\( \varphi(v)=\left(\begin{array}{l} {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} \end{array}\right) . \)

Gilt offenbar immer für \( v=\left(\begin{array}{l} {[x]_{3}} \\ {[x]_{3}} \\ {[1]_{3}} \end{array}\right) . \)

Comments

Danke. Darf ich fragen, warum y beliebig ist?

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Klar, aus der letzten Zeile folgt z=0. Dann kämme die

2. Zeile für die Bestimmung von y dran, aber

0x+0y+0z = 0   stimmt immer, also y beliebig.

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vielen Dank. Ich habe noch eine Frage, wie du auf die Lösung zu b) gekommen bist. Ich kann das noch nicht so ganz nachvollziehen

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Bei b) war mir aufgefallen, dass \( \left(\begin{array}{l} {[0]_{3}} \\ {[1]_{3}} \\ {[2]_{3}} \end{array}\right)  \) genau die 3. Spalte

der Matrix ist. Und die ersten beiden Spalten haben die Summe

\( \left(\begin{array}{l} {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} \\ {[0]_{3}} \end{array}\right)  \)

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aber wie kommt man dann auf (x, x, 1) ? Sorry, dass ich nerve

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Deine letzter Schritt endet bei

\(\small Ab \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&2&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

das LGS Ax = b abgeleitet heißt dann

\(Lxi \, :=  \, \left\{  \left\{ x1 = -2 \; x2, x2 = x2, x3 = 1 \right\}  \right\} \)

\([Lxi]_2 \, :=  \, \left\{  \left\{ x1 = 1 \; x2, x2 = x2, x3 = 1 \right\}  \right\} \)

x2=t unbestimmt