Beliebig oft Ableitbar

Question

Aufgabe

f(x)= (e^(-x^2)-0,5)^2

Problem/Ansatz:

Hallo, ich soll für diese Funktion zeigen, dass sie beliebig oft ableitbar ist, weiß aber leider gar nicht wie ich das Beweisen soll. Ich hoffe jemand kann mir helfen und weiß wie das geht.

Vielen Dank schon einmal im Voraus

Comments

Da hat es eine Klammer zuviel. Oder eine zuwenig.

---

Stimmt. Hab es jetzt geändert. Danke für den Hinweis

---

f(x)=  ( e^  ( -x^2 )-0,5 ) ) ²

Hier wäre die letzte Klammer ) zuviel.

---

@Matteo es wurde nichts geändert.

Nachtrag: mittlerweile schon, danke.

---

Jeder halbwegs erfahrene Mathematik-Mensch "sieht", dass man diese Funktion beliebig oft differenzieren kann - was sollte schon schiefgehen?

Wenn man es formal beweisen will, kann man induktiv zeigen, dass alle Ableitungen aus Summen der Form \(\exp(-2x)P(x)\) oder \(\exp(-x)P(x)\) mit geeigneten Polynomen P bestehen ....

---

Es fehl das Quadrat bei x!

---

halbwegs erfahrene Mathematik-Mensch
Solchen Leuten wird die Aufgabe nicht gestellt.

Wenn man es formal beweisen will
Die Aufgabe verlangt, dass man einen solchen Beweis führen muss.

---

Ist Evidenz kein Beweis?

Auch Beweise beruhen zuletzt auf Evidenzen.

Evidenz kann man nicht mehr beweisen wie Axiome auch nicht. Irgendwann ist eine Grenze erreicht.

Mehr als sehen kann ich auch nicht, dass der Schnee weiß und nicht schwarz ist.

Warum haben soviel Probleme mit Beweisen?

Weil der Ansatz fehlt oder es keine Systematik gibt. Mal gehts so, dann wieder anders.

Ohne Erfahrung kommt man nicht so ohne weiteres darauf, wie man vorzugehen hat,

Das belegen die vielen Anfragen zu diesen Thema.

Offenbar gelingt es im Unterricht nicht wirklich, diese Materie rüberzubringen

Dass Beweisen trockene Materie ist, kommr demotivieren hinzu.

Die meisten Schüler mögen das nicht, viele hassen diese Materie sogar,

weil einfach nur strohtrocken und selten von (praktischen) Nutzen.

Es ist öder Schulstoff wie viel anderer langweiliger Stoff in anderen Fächern auch.

Was keinen Spaß macht, will man bald loswerden.

Kein Wunder: Wir leben/lebten?? in einer Spaßgesellschaft.

No fun, no motivation

in the (pupils') nation.

---

Dass Beweisen trockene Materie ist, kommr demotivieren hinzu.

Dass Beweisen trockene Materie ist,

Dem kann ich nicht zustimmen und nebenbei:
es gibt hier auch Leute, die das Beweisen gern
lernen wollen, weil sie ungewöhnlicherweise
Mathematiker werden wollen.

---

weil sie ungewöhnlicherweise
Mathematiker werden wollen.

Mathe studieren vergleichsweise wenig.

Irgendwie hat die Beweiserei kein System.

Auf den richtigen Gedanken zu kommen ist meist das Problem,

das natürlich Profis mit viel Erfahrung nicht haben.

Bei denen macht es sofort click.

Ein Thema, das nicht so richtig griffig, sperrig ist.

Über Geschmack ...

---

Mathe studieren vergleichsweise wenig.

Und deswegen soll man ihnen nicht behilflich sein?

Answer 1

\(f(x)=e^x\) selbst ist schon beliebig oft ableitbar, somit auch in Kombination mit anderen Elementen.

Answer 2

f '(x) = 2*(e^(-x^2)-0,5)*(-2x) = -4x*(e^(-x^2)-0,5)

Das kannst du mit der Produktregel und Kettenregel weiter beliebig oft ableiten.

https://www.ableitungsrechner.net/

oder Binom ausmultiplizieren;

e^(-2x^2) - e^(-x^2)+0,25

ableiten:

-4x*e^(-2x^2).+2x*e^(-x^2)

Comments

Vielleicht erkennst du, dass deine beiden Terme   -4x*(e^(-x²)-0,5)   und  -4x*e^(-2x²).+2x*e^(-x²)   nicht gleich sind.

Entscheide dich !

Das kannst du ... beliebig oft ableiten hört sich nach der Originalaufgabe an.

---

Der Fehler steckt hier:

f '(x) = 2*(e^(-x^2)-0,5)*(-2x)

Bei der inneren Ableitung fehlt ein Term.

Answer 3

Summen, Produkte und Verkettungen beliebig oft ableitbarer Funktionen sind wieder beliebig oft ableitbar.

Answer 4

Es ist \(f(x)=g(h(x))\) mit \(h(x)=e^{-x^2}\) und \(g(x)=(x-1/2)^2\).

Nun ist \(g\) eine Polynomfunktion, also beliebig häufig diffbar..

Wegen der Kettenregel muss einzig noch gezeigt werden, dass

\(h(x)\) beliebig oft diffbar. ist.

Es gibt zu jedem natürlichen \(n\) ein Polynom \(p_n(x)\)

mit \(h^{(n)}(x)=p_n(x)e^{-x^2}\quad (*)\).

Produktregel und Kettenregel liefern dann

\(h^{(n+1)}(x)=p_n'(x)e^{-x^2}-2xp_n(x)e^{-x^2}=(p_n'(x)-2xp_n(x))e^{-x^2}\),

das ist der Ind.schritt zum Beweis von \((*)\).