Funktionenschar Flächeninhalt

Question

Aufgabe:

Eine Funktionenschar wird durch f(x)=1/2x^2+2kx+k dargestellt. Für welches k schließt der Graph von f im Intervall [1;2] eine Fläche von 12 ein.

Ich verstehe nicht, inwiefern k jetzt die Fläche beeinflusst.

LG

Comments

Wenn man k von 1 bis 3 verändert, dann verändert sich die Funktionskurve so:

Answer 1

Löse die Gleichung F(2) - F(1) = 12 nach k auf.

\(\displaystyle \int \limits_{1}^{2}\left(\frac{1}{2}x^{2}+ 2\cdot \frac{65}{24}x+\frac{65}{24}\right) d x=12 \)

Comments

So?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\mp(2)-\mp(1)=12 \\ \left(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}+2 u \cdot 2+k\right)-\left(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}+2 u \cdot 1+u\right)=12 \\ \frac{1}{2} \cdot 2^{2}+2 u \cdot 2+k-\frac{1}{2} \cdot 1^{2}-2 u \cdot 1-k \quad=12 \\ 2+4 u+h-0,5-2 u-h=12 \\ 1,5+2 h \quad=12 \quad \mid-1,5 \\ 24 \quad=10,5 \quad 1: 2 \\ =5,25 \\\end{array} \)

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Nö, Du sollst 2 und 1 in die Stammfunktion F einsetzen, nicht in die Funktion f.

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Wie kommst du auf 65/24?

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indem ich die Gleichung F(2) - F(1) = 12 nach k aufgelöst habe.

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Wie kommst du auf 65/24?

Guck doch mal die anderen Antworten an.

Answer 2

Hallo,

https://www.desmos.com/calculator/zo22vvwzdj

Die grüne Fläche entspricht dem Integral.

\(k=2,708\overline3\)

Graphisch bestimmt.

Nun rechnerisch:

$$f(x)=\frac12x^2+2kx+k$$

$$F(x)=\frac16x^3+kx^2+kx+C$$

$$F(2)-F(1)=\frac16\cdot2^3+k\cdot2^2+k\cdot2-\frac16-k-k=12$$

$$\frac76+4k=12$$

$$4k=\frac{65}{6}$$

$$k=\frac{65}{24}=2,708\overline3$$

:-)

Answer 3

Willkommen in der Mathelounge!

\(f_k(x)=0,5x^2+2kx+k\)

Bilde die Stammfunktion

[spoiler]

\(F_k(x)=\frac{1}{6}x^3+kx^2+kx\)

[/spoiler]

Das Integral von 1 bis 2 soll den Flächeninhalt 12 haben.

Berechne zunächst F(2) - F(1)

[spoiler]

\(F(2)=\frac{8}{6}+4k+2k\quad F(1)=\frac{1}{6}+k+k\\ F(2)-F(1)=\frac{8}{6}+6k-(\frac{1}{6}+2k)=\frac{7}{6}+4k\\\)

[/spoiler]

Setze dein Ergebnis = 12 und löse nach k auf.

[spoiler]

\(\frac{7}{6}+4k=12\\ 4k=\frac{65}{6}\\ k=\frac{65}{24}\)

[/spoiler]

Melde dich, falls noch etwas unklar ist.

Gruß, Silvia