Rechnungen und Definitionen

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass für z = f(x, y) = ln(√x+√y) die Gleichung

$x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}$ erfüllt ist.

b) Berechnen Sie die Rotation, rot v, des Vektorfeldes v : R³ → R³, definiert durch

$v(x, y, z):=\left(\begin{array}{c}2 x y^{2}+4 z^{3} \\ 2 x^{2} y \\ 12 x z^{2}\end{array}\right)$

Problem/Ansatz:

ich verstehe leider absolut nicht wie ich hier verfahren soll und möchte fragen ob jemand mir bitte Rechen- und Lösungswege dieser Aufgaben schildern könnte. Ich bedanke mich vielmals im Voraus, mfg

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass für z = f(x, y) = ln(√x+√y) die Gleichung ... erfüllt ist

$\frac{\partial z}{\partial x}$= $\frac{1}{2 \sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

$\frac{\partial z}{\partial y}$= $\frac{1}{2 \sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

einsetzt in:

$x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}$

x   $\frac{1}{2 \sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$  + y  $\frac{1}{2 \sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$ =$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \cdot\left(\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{y}{\sqrt{y}}\right)=1/2$

$\frac{1}{2(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \cdot\left(\frac{x \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{y} \cdot \sqrt{y}}\right)=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$ =$\frac{1}{2}$

b) Berechnen Sie die Rotation, rot v, des Vektorfeldes v : R3 → R3

Answer 2

Zeigen Sie, dass für z = f(x, y) = ln(√x+√y) die Gleichung$x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2}$

Das heißt:

Bilde die partielle Ableitung von z nach x.

Hast du?

Multipliziere den erhaltenen Ableitungsterm mit x und notiere den Ergebnisterm.

Das heißt weiter:

Bilde die partielle Ableitung von z nach y.
Hast du?
Multipliziere den erhaltenen Ableitungsterm mit y und notiere den Ergebnisterm.

Das heißt final: Addiere die beiden notierten Terme und stelle (eventuell nach leichteren Termumformungen/Zusammenfassungen) erstaunt fest, dass diese Summe 1/2 ergibt.

Wie sehen deine diesbezüglichen Zwischenergebnisse aus?

Comments

Hallo, vielen Dank für die Hilfe schonmal. Leider bin ich trotzdem zu verwirrt zu verstehen wie die ganzen Schritte aussehen sollen :( Könnten sie mir das ausnahmsweise alles mal darstellen dann kann ich es besser nachvollziehen könnte? Nur wenn es keine Umstände bereitet.